Seja um lote contendo 7 peças não defeituosas e 3 peças defeituosas. Uma amostra de 2 peças deste lote é selecionada sem reposição. Seja X o número de peças não defeituosas na amostra e Y o número de peças defeituosas na amostra.
c) As variáveis Xe Y são independentes?

Passo 1

Beleza, primeiro vamos relembrar o que o problema diz e o que a gente precisa:
Temos um lote com 7 peças não defeituosas e 3 defeituosas. A gente escolhe 2 peças sem reposição. Definimos duas variáveis aleatórias:
  • X = número de peças não defeituosas na amostra
  • Y = número de peças defeituosas na amostra
A parte © pergunta se X e Y são independentes.
Conteúdo que vamos usar:
  1. conceito de independência de variáveis aleatórias:
    X e Y são independentes se, para todo par (x,y), P(X=x,,Y=y) = P(X=x);P(Y=y),
    2) cálculo de probabilidades via combinações.

Passo 2

Vamos primeiro montar a distribuição conjunta binom102 = 45 . Os valores possíveis de P(X=2,Y=0) = binom7245 = 2145 = 715 são P(X=1,Y=1) = 2145 = 715 , porque a amostra tem tamanho 2. O total de jeitos de escolher 2 peças dentre 10 é
P(X=0,Y=2) = 345 = 115
  • Caso : as duas escolhidas são não defeituosas.
    Jeitos = .
  • Caso : uma não defeituosa e uma defeituosa.
    Jeitos = .
  • Caso : as duas são defeituosas.
    Jeitos = .

Passo 3

Agora vamos achar as marginais e :
Para X:
  • .
  • .
  • .
Para Y:
  • .
  • .
  • .

Passo 4

Pra testar independência, basta ver se existe algum par P(X=x,Y=y) neq P(X=x),P(Y=y) tal que
P(X=1),P(Y=1) = 715;times;715 = 49225 = 49225;l(approx0,218r)
Escolhendo 715 = 0,466ldots difere de 49225 = 0,217ldots, :
  • Lado esquerdo: P(X=1,Y=1);neq;P(X=1),P(Y=1)
  • Lado direito:
Como
fica claro que
Logo, X e Y não são independentes.

Resposta

X e Y não são independentes.

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