Seja uma LTSP com \mathrm{Z} 0=70 \Omega e carga \mathrm{ZL}=-\mathrm{j} 140 \Omega. Determine o menor comprimento da linha para o qual a impedância de entrada é igual a:
(b) zero

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos: Z_0 = 70\\ \Omega,\qquad Z_L = -\,\mathrm{j}\,140\\ \Omega.
  • Pergunta:
    Determinar o menor comprimento da linha para o qual a impedância de entrada é igual a zero (ou seja, \;Z_{\text{in}}=0).

Passo 2

Fórmula geral (para linha lossless) e significado das variáveis.
A impedância de entrada de uma linha de transmissão lossless, com constante de fase \beta e comprimento l, é dada por
Z_{\text{in}}(l)=Z_0\;\frac{Z_L + \mathrm{j}Z_0\tan(\beta l)}{\,Z_0 + \mathrm{j}Z_L\tan(\beta l)\,}.
Explicando cada símbolo:
  • Z_{\text{in}}(l) é a impedância vista na entrada quando a linha tem comprimento l.
  • Z_0 é a impedância característica da linha (aqui 70\\ \Omega).
  • Z_L é a impedância na carga (aqui -\mathrm{j}140\\ \Omega).
  • \beta é a constante de fase da linha; para uma linha lossless \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}, onde \lambda é o comprimento de onda da onda na linha.
  • \tan(\beta l) é a tangente da extensão elétrica \beta l.

Passo 3

Condição para Z_{\text{in}}=0 e manipulação algébrica.
Para que Z_{\text{in}}(l)=0 precisamos que o numerador da fração seja zero (e que o denominador não seja simultaneamente zero). Assim
Z_L + \mathrm{j}Z_0\tan(\beta l)=0.
Isolando \tan(\beta l) obtemos
\tan(\beta l) = -\frac{Z_L}{\mathrm{j}Z_0}.

Passo 4

Substituição dos valores da questão e simplificação.
Substituindo Z_L=-\mathrm{j}140 e Z_0=70:
\tan(\beta l) = -\frac{-\mathrm{j}140}{\mathrm{j}\,70} = \frac{\mathrm{j}140}{\mathrm{j}70} = \frac{140}{70}=2.
Portanto precisamos de
\tan(\beta l)=2.

Passo 5

Soluções para \beta l e escolha do menor comprimento positivo.
As soluções de \tan x = 2 são
\beta l = \arctan(2) + n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
O menor comprimento positivo corresponde a n=0, isto é \beta l = \arctan(2). Numericamente
\arctan(2)\approx 1,10715\\ \text{rad}\approx 63,435^\circ.

Passo 6

Expressar l em função de \lambda (comprimento de onda) e obter o valor numérico.
Como \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda}, temos
l = \frac{\arctan(2)}{\beta} = \frac{\arctan(2)}{2\pi}\,\lambda.
Numericamente,
l \approx \frac{1,10715}{2\pi}\,\lambda \approx 0,1763\,\lambda.
(O denominador da expressão original fica diferente de zero para essa solução; substituindo confirma-se que não há indeterminação.)

Resposta

l=\frac{\arctan(2)}{2\pi}\,\lambda \approx 0,1763\,\lambda

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