Sejam o Campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x^{2}}+z, e^{y^{2}}+x, e^{z^{2}}+y\right) e \gamma= ( \cos t, sent, 3), com 0 \leq t \leq 2 \pi. Calcule a integral de \vec{F} ao longo de \gamma.

Passo 1

Temos o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x^{2}}+z,\;e^{y^{2}}+x,\;e^{z^{2}}+y\bigr)
e a curva parametrizada
\gamma(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = (\cos t,\;\sin t,\;3), \quad 0\le t\le 2\pi.
Queremos calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r
usando d\vec r = \gamma'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos \gamma'(t) e avaliamos \vec F em \gamma(t):
\gamma'(t) = (-\sin t,\;\cos t,\;0),
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr) = \Bigl(e^{\cos^{2}t}+3,\;e^{\sin^{2}t}+\cos t,\;e^{9}+\sin t\Bigr).

Passo 3

O produto escalar \vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é
\bigl(e^{\cos^{2}t}+3\bigr)(-\,\sin t) +\bigl(e^{\sin^{2}t}+\cos t\bigr)(\cos t) +\bigl(e^{9}+\sin t\bigr)\cdot0.
Logo a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\Bigl[-\,e^{\cos^{2}t}\sin t -3\sin t +e^{\sin^{2}t}\cos t +\cos^{2}t\Bigr]\,dt.

Passo 4

Separemos em quatro integrais:
I_1 = -\int_{0}^{2\pi}e^{\cos^{2}t}\sin t\,dt,\quad I_2 = -3\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt,\quad I_3 = \int_{0}^{2\pi}e^{\sin^{2}t}\cos t\,dt,\quad I_4 = \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt.

Passo 5

Para I_1, faça u=\cos t, du=-\sin t\,dt; os limites vão de u(0)=1 a u(2\pi)=1, logo
I_1 = \int_{1}^{1}e^{u^{2}}\,du = 0.
Para I_3, use v=\sin t, dv=\cos t\,dt com v(0)=0, v(2\pi)=0, daí
I_3 = \int_{0}^{0}e^{v^{2}}\,dv = 0.
Para I_2:
I_2 = -3\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{2\pi} = -3\bigl[-1+1\bigr]=0.
Para I_4, lembrando que \cos^{2}t=(1+\cos2t)/2,
I_4 = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\bigl[2\pi+0\bigr] = \pi.
Somando, a integral total é
I_1+I_2+I_3+I_4 = 0+0+0+\pi = \pi.

Resposta

\pi

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