Seja \mathcal{F}((0, \infty), \mathbb{R}) o espaço vetorial das funções reais definidas em ( 0, \infty ). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes. \left\{\sin x^{2}, \sin x, x\right\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto \{\,\sin(x^2),\;\sin x,\;x\}
é linearmente independente no espaço \mathcal F((0,\infty),\mathbb R).
Para isso, usaremos a definição de independência linear: vamos supor que exista
a\,\sin(x^2)+b\,\sin x + c\,x = 0
para todo x>0, e mostrar que isso força a=b=c=0.
Passo 2
Assumimos
a\,\sin(x^2)+b\,\sin x + c\,x = 0
para todo x>0. Em particular, podemos estudar o comportamento quando x\to0^+.
Passo 3
Usamos as expansões em série de Taylor em torno de 0:
\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{6} + o(x^6), \qquad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
Como isso vale para x arbitrariamente pequeno, os coeficientes devem se anular:
a = 0, \qquad b + c = 0.
Passo 4
Da igualdade b + c = 0 segue c = -b. Com a=0, a combinação original fica
b\,\sin x \;+\; c\,x \;=\; b\,\sin x \;-\; b\,x \;=\; b\bigl(\sin x - x\bigr) = 0
para todo x>0. Mas a função \sin x - x não é identicamente nula em (0,\infty) (por exemplo, para x pequeno, \sin x - x\approx -x^3/6\neq0), logo a única forma de
b\bigl(\sin x - x\bigr)=0
valer para todo x é ter b=0. Então c=-b=0.
Resposta
O único sistema de escalares que anula identicamente \sin(x^2),\;\sin x,\;x
é a=b=c=0. Portanto o conjunto é linearmente independente.