Seja
o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais. Mostre que os subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de polinômios
é linearmente independente em .
Isso significa que, se uma combinação linear desses três polinômios for o polinômio zero, então todos os coeficientes da combinação devem ser zero.
é linearmente independente em
Isso significa que, se uma combinação linear desses três polinômios for o polinômio zero, então todos os coeficientes da combinação devem ser zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
onde
é o polinômio identicamente nulo. Nosso objetivo é provar que
.
Passo 3
Vamos expandir e agrupar em potências de
:
Como isso deve ser o polinômio zero, os coeficientes de cada potência de
têm de se anular.
Passo 4
Igualando coeficientes em cada grau de
Substituindo
na terceira equação fica
.
Resposta
Como
é a única solução, o conjunto
é linearmente independente em
.