Seja P(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais. Mostre que os subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\left\{x, x^{2}-x, x^{3}-x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de polinômios
\{x,\;x^{2}-x,\;x^{3}-x\}
é linearmente independente em P(\mathbb{R}).
Isso significa que, se uma combinação linear desses três polinômios for o polinômio zero, então todos os coeficientes da combinação devem ser zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,x \;+\;\beta\,(x^{2}-x)\;+\;\gamma\,(x^{3}-x)\;=\;0
onde 0 é o polinômio identicamente nulo. Nosso objetivo é provar que \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 3

Vamos expandir e agrupar em potências de x:
\alpha\,x + \beta\,x^{2} - \beta\,x + \gamma\,x^{3} - \gamma\,x =\gamma\,x^{3} + \beta\,x^{2} +(\alpha - \beta - \gamma)\,x.
Como isso deve ser o polinômio zero, os coeficientes de cada potência de x têm de se anular.

Passo 4

Igualando coeficientes em cada grau de x\), obtemos o sistema \[\begin{cases} \text{grau }3:\quad \gamma = 0,\\\ \text{grau }2:\quad \beta = 0,\\\ \text{grau }1:\quad \alpha - \beta - \gamma = 0. \end{cases}
Substituindo \beta=0\] e \(\gamma=0 na terceira equação fica \alpha=0.

Resposta

Como \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução, o conjunto \{x,\;x^{2}-x,\;x^{3}-x\} é linearmente independente em P(\mathbb{R}).

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