Seja
dada por
.
a) Mostre que
é uma transformação linear;
b) Determine
;
c)
é injetora?
a) Mostre que
b) Determine
c)
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Pede-se: (a) mostrar que
é linear, (b) determinar
e (c) verificar se
é injetora. Para isso vamos usar a definição de transformação linear, a noção de núcleo (kernel) e o fato de que uma transformação linear é injetora exatamente quando seu núcleo é trivial.
Passo 2
Mostramos linearidade verificando aditividade e homogeneidade. Sejam
e
. Então
Logo
satisfaz ambas as propriedades e é linear.
Passo 3
Para encontrar
, tomamos
e exigimos
. Calculamos
Impondo
obtemos o sistema dos coeficientes:
Dessas equações segue
,
e
. Portanto
Passo 4
Como o núcleo de
é apenas o polinômio zero, concluímos que
é injetora (uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu kernel for
).
Resposta
(a)
é linear.
(b) .
(c) Sim, é injetora.
(b)
(c) Sim,