Seja T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) dada por T(p(x))=p^{\prime}(x)+x p(x).
a) Mostre que T é uma transformação linear;
b) Determine \operatorname{Ker}(T);
c) T é injetora?

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T\colon \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+x\,p(x).
Pede-se: (a) mostrar que T é linear, (b) determinar \operatorname{Ker}(T) e (c) verificar se T é injetora. Para isso vamos usar a definição de transformação linear, a noção de núcleo (kernel) e o fato de que uma transformação linear é injetora exatamente quando seu núcleo é trivial.

Passo 2

Mostramos linearidade verificando aditividade e homogeneidade. Sejam p,q\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}. Então
T(p+q)= (p+q)' + x\,(p+q) = p' + q' + x\,p + x\,q = T(p)+T(q),
T(\lambda p)= (\lambda p)' + x\,(\lambda p) = \lambda p' + \lambda\,x\,p = \lambda\,T(p).
Logo T satisfaz ambas as propriedades e é linear.

Passo 3

Para encontrar \operatorname{Ker}(T), tomamos
p(x)=a x^{2}+b x+c,\quad a,b,c\in\mathbb{R},
e exigimos T(p)=0. Calculamos
T(p)(x)=p'(x)+x\,p(x) = (2a x + b) + x\,(a x^{2}+b x+c) = a x^{3}+b x^{2}+(c+2a)x + b.
Impondo T(p)(x)\equiv 0 obtemos o sistema dos coeficientes:
a=0,\quad b=0,\quad c+2a=0,\quad b=0.
Dessas equações segue a=0, b=0 e c=0. Portanto
\operatorname{Ker}(T)=\{\,0\,\}.

Passo 4

Como o núcleo de T é apenas o polinômio zero, concluímos que T é injetora (uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu kernel for \{0\}).

Resposta

(a) T é linear.
(b) \operatorname{Ker}(T)=\{0\}.
(c) Sim, T é injetora.

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