Seja
dada por
.
a) Mostre que
é transformação linear;
b) Determine os subespaços vetoriais núcleo
e a imagem
;
c) Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais:
e
;
d) Determine a dimensão do
e da
;
a) Mostre que
b) Determine os subespaços vetoriais núcleo
c) Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais:
d) Determine a dimensão do
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
O conteúdo é teoria de transformações lineares: precisamos (a) mostrar linearidade, (b) achar o núcleo
e a imagem
, (c) encontrar uma base para cada subespaço, e (d) determinar suas dimensões.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, tomamos dois vetores
e um escalar
. Então
e
Logo
satisfaz aditividade e homogeneidade, ou seja, é linear.
Passo 3
O núcleo
é o conjunto dos pares
tais que
, isto é
Para parametrizar, basta resolver
. Por exemplo, tomar
e escrever
Assim
onde
. Portanto
é a reta gerada por
.
Passo 4
A imagem
é o conjunto dos valores
para
. Para qualquer
, basta escolher por exemplo
e
para obter
. Logo
Passo 5
Uma base de
é dada por
pois todo vetor de
é múltiplo de
.
Uma base de é
já que todo real é múltiplo de 1.
Uma base de
Passo 6
As dimensões são
Resposta
a)
é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar conforme mostrado.
b) , .
c) , .
d) , .
b) ,
c) ,
d) ,