Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} dada por T(x, y)=3 x+2 y.
a) Mostre que T é transformação linear;
b) Determine os subespaços vetoriais núcleo \operatorname{Ker}(T) e a imagem \operatorname{Im}(T);
c) Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T);
d) Determine a dimensão do \operatorname{Ker}(T) e da \operatorname{Im}(T);

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
T(x,y)=3x+2y.
O conteúdo é teoria de transformações lineares: precisamos (a) mostrar linearidade, (b) achar o núcleo \Ker(T) e a imagem \Im(T), (c) encontrar uma base para cada subespaço, e (d) determinar suas dimensões.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tomamos dois vetores (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 e um escalar c\in\mathbb{R}. Então
T\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2) =(3x_1+2y_1)+(3x_2+2y_2) =T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2),
e
T\bigl(c\,(x_1,y_1)\bigr) =T(cx_1,\;cy_1) =3(cx_1)+2(cy_1) =c\,(3x_1+2y_1) =c\,T(x_1,y_1).
Logo T satisfaz aditividade e homogeneidade, ou seja, é linear.

Passo 3

O núcleo \Ker(T) é o conjunto dos pares (x,y) tais que T(x,y)=0, isto é
\Ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 3x+2y=0\}.
Para parametrizar, basta resolver 3x+2y=0. Por exemplo, tomar t\in\mathbb{R} e escrever
y=t, \quad 3x+2t=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}t.
Assim
(x,y)=t\bigl(-\tfrac{2}{3},1\bigr) =\frac{t}{3}(-2,3) =t'\,(2,-3),
onde t'=-t/3. Portanto \Ker(T) é a reta gerada por (2,-3).

Passo 4

A imagem \Im(T) é o conjunto dos valores 3x+2y para (x,y)\in\mathbb{R}^2. Para qualquer w\in\mathbb{R}, basta escolher por exemplo x=\tfrac{w}{3} e y=0 para obter T(x,y)=w. Logo
\Im(T)=\mathbb{R}.

Passo 5

Uma base de \Ker(T) é dada por
\{(2,-3)\},
pois todo vetor de \Ker(T) é múltiplo de (2,-3).
Uma base de \Im(T)\subset\mathbb{R} é \{1\}, já que todo real é múltiplo de 1.

Passo 6

As dimensões são
\dim\bigl(\Ker(T)\bigr)=1, \quad \dim\bigl(\Im(T)\bigr)=1.

Resposta

a) T é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar conforme mostrado.
b) \Ker(T)=\{(x,y)\mid 3x+2y=0\}, \Im(T)=\mathbb{R}.
c) \text{base}(\Ker(T))=\{(2,-3)\}, \text{base}(\Im(T))=\{1\}.
d) \dim(\Ker(T))=1, \dim(\Im(T))=1.

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