Seja n \in \mathbb{N}. Mostre que:
(2 n+1,9 n+4)=1

Passo 1

O enunciado dá n \in \mathbb{N} e pede para mostrar que
(2n+1,\,9n+4)=1,
ou seja, que o máximo divisor comum entre 2n+1 e 9n+4 é 1.
Informações relevantes dadas:
  • Um inteiro natural n qualquer.
  • Os dois números cujos divisores comuns queremos analisar são 2n+1 e 9n+4.

Passo 2

Lembra do truque básico do algoritmo de Euclides (e de uma propriedade simples do MDC): para inteiros a,b e qualquer inteiro q vale
(a,b)=(a,b-q a).
Explicando por que isso é verdade (aula rápida): se d divide a e b então d divide b-q a (pois b-q a é combinação linear de a e b). Reciprocamente, se d divide a e b-q a então d divide b=(b-q a)+q a. Logo os conjuntos de divisores comuns de (a,b) e de (a,b-q a) coincidem, assim seus maiores divisores comuns são iguais.

Passo 3

Aplicamos essa propriedade com a=2n+1, b=9n+4 e q=4. Calculamos:
9n+4 - 4(2n+1) = 9n+4 -8n -4 = n.
Portanto, pelo passo anterior,
(2n+1,\,9n+4) = (2n+1,\,n).

Passo 4

Agora aplicamos novamente a mesma ideia para reduzir (2n+1,n). Subtraindo 2 vezes n de 2n+1 temos
2n+1 - 2\cdot n = 1.
Pelo mesmo raciocínio do algoritmo de Euclides,
(2n+1,\,n) = (n,\,2n+1-2n) = (n,\,1).

Passo 5

Mas para qualquer inteiro n vale (n,1)=1, pois 1 divide todos os inteiros e não existe divisor comum maior que 1. Então, juntando as igualdades:
(2n+1,\,9n+4) = (2n+1,\,n) = (n,1) = 1.
Como bônus didático, nota-se explicitamente a identidade de Bézout que prova que o MDC é 1: a partir das operações acima obtemos
1 = 9(2n+1) - 2(9n+4),
o que mostra que 1 é combinação inteira de 2n+1 e 9n+4, logo o MDC é 1.

Passo 6

Resumo em linguagem amiga: subtraindo 4 vezes 2n+1 de 9n+4 aparece o n; subtraindo 2 vezes n de 2n+1 aparece 1. Isso reduz o problema até o caso evidente (n,1)=1. Portanto os dois números são primos entre si para todo n. Força aí — é esse tipo de truque com o algoritmo de Euclides que cai muito na prova!

Resposta

(2n+1,9n+4)=1

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