Sejam (
. ) e (
. .) espaços vetoriais e
a transformação linear dada por
onde
Mostre que
é um isomorfismo de
em
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
onde
Queremos mostrar que
é um isomorfismo, ou seja, que
é linear, injetiva e sobrejetiva (ou usar dimensão).
Passo 2
Mostramos que
é linear, isto é, para quaisquer
e
vale
De fato, escrevendo
e
, tem-se
logo
Analogamente
Passo 3
Vamos provar que
, o que implica injetividade. Se
é o polinômio nulo, então
como função de
. Para um polinômio ser identicamente zero, todos os seus coeficientes devem ser zero, ou seja
. Logo
e
é injetiva.
Passo 4
Mostramos que
é sobrejetiva construindo um pré‐imagem para cada polinômio de grau
. Seja
Basta escolher o vetor
, pois
Assim,
é sobrejetiva.
Passo 5
Como
é linear, injetiva e sobrejetiva, concluímos que
é um isomorfismo de
em
.