Sejam ( \mathbb{R}^{n},+,. ) e ( \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}),+. .) espaços vetoriais e T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}) a transformação linear dada por
T\left(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\right)=p, \quad\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}
onde
p(t)=x_{1}+x_{2} t+\ldots+x_{n} t^{n-1} \operatorname{tin} \mathbb{R}^{n}
Mostre que T é um isomorfismo de \mathbb{R}^{n} em \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}), \qquad T\bigl((x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\bigr)=p,
onde
p(t)=x_{1}+x_{2}t+\dots+x_{n}t^{n-1}.
Queremos mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que T é linear, injetiva e sobrejetiva (ou usar dimensão).

Passo 2

Mostramos que T é linear, isto é, para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n} e \alpha\in\mathbb{R} vale
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}), \qquad T(\alpha\,\mathbf{u})=\alpha\,T(\mathbf{u}).
De fato, escrevendo \mathbf{u}=(u_{1},\dots,u_{n}) e \mathbf{v}=(v_{1},\dots,v_{n}), tem-se
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}),
logo
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})(t) =(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})t+\dots+(u_{n}+v_{n})t^{n-1}
\quad =u_{1}+u_{2}t+\dots+u_{n}t^{n-1} + v_{1}+v_{2}t+\dots+v_{n}t^{n-1}
\quad =T(\mathbf{u})(t)+T(\mathbf{v})(t).
Analogamente
T(\alpha\,\mathbf{u})(t) =\alpha\,u_{1}+\alpha\,u_{2}t+\dots+\alpha\,u_{n}t^{n-1} =\alpha\,T(\mathbf{u})(t).

Passo 3

Vamos provar que \ker T=\{\mathbf{0}\}, o que implica injetividade. Se T(x_{1},\dots,x_{n}) é o polinômio nulo, então
x_{1}+x_{2}t+\dots+x_{n}t^{n-1}\equiv 0
como função de t. Para um polinômio ser identicamente zero, todos os seus coeficientes devem ser zero, ou seja x_{1}=x_{2}=\dots=x_{n}=0. Logo \ker T=\{(0,\dots,0)\} e T é injetiva.

Passo 4

Mostramos que T é sobrejetiva construindo um pré‐imagem para cada polinômio de grau \le n-1. Seja
q(t)=a_{0}+a_{1}t+\dots+a_{n-1}t^{n-1}\in \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}).
Basta escolher o vetor (a_{0},a_{1},\dots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n}, pois
T(a_{0},a_{1},\dots,a_{n-1})(t) =a_{0}+a_{1}t+\dots+a_{n-1}t^{n-1} =q(t).
Assim, T é sobrejetiva.

Passo 5

Como T é linear, injetiva e sobrejetiva, concluímos que T é um isomorfismo de \mathbb{R}^{n} em \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}).

Resposta

T é um isomorfismo de \mathbb{R}^{n} sobre \mathcal{P}_{n-1}(\mathbb{R}).

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