Seja
definida por: determinar o valor
para que
seja contínua em todo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
O que se pede: determinar o valor de
seja contínua em todo
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão
está escrita para todos os exceto (pois o denominador seria zero em ). - Em
a função vale (valor a ser determinado). - É preciso escolher
de modo que seja contínua para todo .]
Passo 2
Definição e ideia para testar continuidade (mini-aula): uma função
é contínua num ponto
quando o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função em
. Formalmente:
Aqui, para que
seja contínua em todo
precisamos que isso valha para todo
. Note que:
- Para
a expressão dada é uma razão de polinômios — essas funções são contínuas onde o denominador não é zero, então não há problema de continuidade para . - O único ponto potencial de descontinuidade é
, já que a fórmula muda aí e o denominador da expressão original zera em .
Portanto, para garantir continuidade em todo
devemos exigir que
Nosso trabalho prático será calcular esse limite e então igualá‑lo a
.
Passo 3
Cálculo do limite (técnica algébrica): observe que o numerador
é uma diferença de cubos, pois
. A fórmula para diferença de cubos é
onde
e
são quaisquer números. Aplicando com
e
temos
Substituindo na fração (para
) obtemos
Isso mostra que a função dada para
coincide com o polinômio
quando
se aproxima de
. Como polinômios são contínuos, podemos calcular o limite simplesmente substituindo
no polinômio:
Passo 4
Conclusão e interpretação (mini-aula prática): para que
seja contínua em
devemos ter
. Calculamos o limite e encontramos
. Logo é necessário e suficiente escolher
Observação conceitual: antes de preencher
, o ponto
era uma descontinuidade removível — a expressão tinha um “buraco” em
que se corrige atribuindo o valor
. Depois de definir
, a função fica contínua em todo
.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar a ideia: considere a função
para
e
. Note que
, então a fração simplifica para
(quando
). O limite
. Para deixar
contínua em
basta escolher
. É exatamente o mesmo tipo de raciocínio aplicado ao problema original.