Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por: determinar o valor c para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{3}-8}{x-2}, & x \neq 2 \\ c, & x=2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}-8}{x-2}, & x\neq 2,\\[6pt] c, & x=2.\end{cases}
O que se pede: determinar o valor de c\] para que \(f seja contínua em todo \mathbb{R}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão \dfrac{x^{3}-8}{x-2} está escrita para todos os x exceto x=2 (pois o denominador seria zero em x=2).
  • Em x=2 a função vale c (valor a ser determinado).
  • É preciso escolher c de modo que f seja contínua para todo x\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Definição e ideia para testar continuidade (mini-aula): uma função f é contínua num ponto a quando o limite de f(x) quando x se aproxima de a existe e é igual ao valor da função em a. Formalmente:
\text{\(f\) contínua em } a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).í
Aqui, para que f seja contínua em todo \mathbb{R} precisamos que isso valha para todo a. Note que:
  • Para x\neq 2 a expressão dada é uma razão de polinômios — essas funções são contínuas onde o denominador não é zero, então não há problema de continuidade para x\neq 2.
  • O único ponto potencial de descontinuidade é x=2, já que a fórmula muda aí e o denominador da expressão original zera em 2.
Portanto, para garantir continuidade em todo \mathbb{R} devemos exigir que
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}=f(2)=c.
Nosso trabalho prático será calcular esse limite e então igualá‑lo a c.

Passo 3

Cálculo do limite (técnica algébrica): observe que o numerador x^{3}-8 é uma diferença de cubos, pois 8=2^{3}. A fórmula para diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr),
onde a e b são quaisquer números. Aplicando com a=x e b=2 temos
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3}=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Substituindo na fração (para x\neq 2) obtemos
\frac{x^{3}-8}{x-2}=\frac{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}{x-2}=x^{2}+2x+4 \qquad (x\neq 2).
Isso mostra que a função dada para x\neq 2 coincide com o polinômio x^{2}+2x+4 quando x se aproxima de 2. Como polinômios são contínuos, podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=2 no polinômio:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\lim_{x\to 2}\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)=2^{2}+2\cdot 2+4=4+4+4=12.

Passo 4

Conclusão e interpretação (mini-aula prática): para que f seja contínua em x=2 devemos ter \lim_{x\to 2} f(x)=f(2). Calculamos o limite e encontramos 12. Logo é necessário e suficiente escolher
c=12.
Observação conceitual: antes de preencher c, o ponto x=2 era uma descontinuidade removível — a expressão tinha um “buraco” em x=2 que se corrige atribuindo o valor 12. Depois de definir c=12, a função fica contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar a ideia: considere a função g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1} para x\neq 1 e g(1)=d. Note que x^{2}-1=(x-1)(x+1), então a fração simplifica para x+1 (quando x\neq1). O limite \lim_{x\to1} \dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2. Para deixar g contínua em 1 basta escolher d=2. É exatamente o mesmo tipo de raciocínio aplicado ao problema original.

Resposta

c=12

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