prove que \lim _{x \rightarrow a} g(f(x))=c, contanto que c=g(b) ou então que x \neq a implique f(x) \neq b.
Passo 1
O enunciado trata do teorema da composição de limites em termos de definição \epsilon–\delta. Temos duas funções \displaystyle f\colon X\to\mathbb{R} e \displaystyle g\colon Y\to\mathbb{R} com f(X)\subset Y, um ponto de acumulação a\in X' e b\in Y'\cap Y. Sabemos
sob a condição extra de que ou c=g(b) ou então x\neq a implica f(x)\neq b. Para isso, vamos usar a definição \epsilon–\delta de limite de cada função e combiná-las.
Passo 2
Seja arbitrário \displaystyle \epsilon>0. Como \displaystyle\lim_{y\to b}g(y)=c, existe \displaystyle \delta_{1}>0 tal que, para todo y\in Y,