1. Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R}, g: Y \rightarrow \mathbb{R} com f(X) \subset Y, a \in X^{\prime} e b \in Y^{\prime} \cap Y. Se
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b \quad \text { e } \quad \lim _{y \rightarrow b} g(y)=c
prove que \lim _{x \rightarrow a} g(f(x))=c, contanto que c=g(b) ou então que x \neq a implique f(x) \neq b.

Passo 1

O enunciado trata do teorema da composição de limites em termos de definição \epsilon \delta. Temos duas funções
\displaystyle f\colon X\to\mathbb{R} e \displaystyle g\colon Y\to\mathbb{R} com f(X)\subset Y, um ponto de acumulação a\in X' e b\in Y'\cap Y. Sabemos
\lim_{x\to a}f(x)=b \quad\text{e}\quad \lim_{y\to b}g(y)=c.
Queremos provar
\lim_{x\to a}g\bigl(f(x)\bigr)=c,
sob a condição extra de que ou c=g(b) ou então x\neq a implica f(x)\neq b. Para isso, vamos usar a definição \epsilon \delta de limite de cada função e combiná-las.

Passo 2

Seja arbitrário \displaystyle \epsilon>0. Como \displaystyle\lim_{y\to b}g(y)=c, existe \displaystyle \delta_{1}>0 tal que, para todo y\in Y,
0<\bigl|y-b\bigr|<\delta_{1} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|g(y)-c\bigr|<\epsilon.

Passo 3

Como \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b, para o \displaystyle \delta_{1} dado acima existe \displaystyle \delta_{2}>0 tal que, para todo x\in X,
0<\bigl|x-a\bigr|<\delta_{2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-b\bigr|<\delta_{1}.

Passo 4

Definimos \displaystyle \delta=\delta_{2}. Assim, sempre que
0<\bigl|x-a\bigr|<\delta
temos automaticamente \displaystyle |f(x)-b|<\delta_{1}.

Passo 5

Agora, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta vale |f(x)-b|<\delta_{1}. Dois casos surgem:
1. Se f(x)\neq b, então 0<|f(x)-b|<\delta_{1} e pelo passo 2
\bigl|g(f(x))-c\bigr|<\epsilon.
2. Se f(x)=b, então pela hipótese adicional c=g(b) segue
g\bigl(f(x)\bigr)=g(b)=c \quad\Longrightarrow\quad \bigl|g(f(x))-c\bigr|=0<\epsilon.
Em ambos os casos \bigl|g(f(x))-c\bigr|<\epsilon. Logo, pela definição de limite,
\lim_{x\to a}g\bigl(f(x)\bigr)=c.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a}g\bigl(f(x)\bigr)=c.

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