Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=3 x^{2}+y^{2}+3.
(a) Mostre que f satisfaz e equação diferencial f_{x x}-3 f_{y y}=0.
(b) Determine a equação cartesiana (ou geral) do plano \Pi tangente ao gráfico de f no ponto A=(-2,7, f(-2,7)).
(c) Considere a curva \mathcal{C}_{1} que é a interseção do gráfico de f com o plano de equação x=-2 e a curva \mathcal{C}_{2} que é a interseção do gráfico de f com o plano de equação y=7. Sejam r_{1} e r_{2} as retas tangentes às curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}, respectivamente, no ponto A=(-2,7, f(-2,7)). Determine a equação cartesiana do plano que contém as retas r_{1} e r_{2}.
(d) Seja \Sigma o plano tangente ao gráfico no ponto P=(a, b, f(a, b)). Suponha que o vetor \vec{n}=(1,-1,1 / 6) é ortogonal ao plano \Sigma.
(d.1) Determine as coordenadas do ponto P.
(d.2) Determine a equação cartesiana (ou geral) do plano \Sigma.
(e) Sejam g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função derivável e h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} a função composta h=f_{\mathrm{o}} g. Suponha que g(-3,5)=(-2,7) e que a matriz jacobiana de g no ponto (-3,5) é
\left[\begin{array}{ll} 1 & -3 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right]
Determine \nabla h(-3,5) (ou seja, o vetor gradiente de h em (-3,5) ).

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=3x^{2}+y^{2}+3.
Informações e perguntas que temos:
  • Dados relevantes: a expressão explícita de f(x,y).
  • Ponto A=(-2,7,f(-2,7)). (Vamos calcular f(-2,7) quando necessário.)
  • Em (a) é pedido verificar a identidade diferencial f_{xx}-3f_{yy}=0.
  • Em (b) é pedido a equação cartesiana do plano \Pi tangente ao gráfico de f no ponto A.
  • Em (c) considerar as curvas \mathcal{C}_1 (interseção do gráfico com x=-2) e \mathcal{C}_2 (interseção do gráfico com y=7), determinar as retas tangentes r_1 e r_2 em A e o plano que contém essas retas.
  • Em (d) o plano tangente \Sigma no ponto P=(a,b,f(a,b)) tem um vetor normal dado \vec{n}=(1,-1,1/6). Pergunta-se (d.1) coordenadas de P e (d.2) a equação cartesiana de \Sigma.
  • Em (e) dada uma função diferenciável g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com g(-3,5)=(-2,7) e matriz jacobiana em (-3,5)
Dg(-3,5)=\begin{bmatrix}1 & -3\\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix},
é pedido o gradiente \nabla h(-3,5) da composição h=f\circ g.]

Passo 2

(a) Vamos calcular as derivadas parciais segundas de f e verificar a igualdade pedida.
Primeiro, lembrar: derivada parcial em relação a x trata y como constante; em relação a y trata x como constante.
Calcule as derivadas primeiras:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^2+y^2+3\big)=6x, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^2+y^2+3\big)=2y.
Agora as derivadas segundas (tome outra derivada parcial):
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big)=\frac{\partial}{\partial x}(6x)=6, \qquad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big)=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
Substituindo em f_{xx}-3f_{yy}:
f_{xx}-3f_{yy}=6-3\cdot 2=6-6=0.
Portanto a identidade é satisfeita.

Passo 3

(b) Plano tangente ao gráfico em A=(-2,7,f(-2,7)).
Primeiro calcule f(-2,7):
f(-2,7)=3(-2)^2+7^2+3=3\cdot 4+49+3=12+49+3=64.
Então A=(-2,7,64).
Fórmula do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (a,b):
z = f(a,b) + f_x(a,b)\big(x-a\big) + f_y(a,b)\big(y-b\big).
Já temos f_x(x,y)=6x e f_y(x,y)=2y. Avaliando em (a,b)=(-2,7):
f_x(-2,7)=6\cdot(-2)=-12,\qquad f_y(-2,7)=2\cdot 7=14.
Substituindo na fórmula:
z = 64 + (-12)\big(x-(-2)\big) + 14\big(y-7\big) =64 -12(x+2) +14(y-7).
Expandindo e arrumando:
z = -12x +14y -58.
Forma cartesiana (geral) do plano (colocando tudo numa só expressão igual a zero):
12x -14y + z +58 = 0.

Passo 4

(c) Curvas \mathcal{C}_1 e \mathcal{C}_2, suas tangentes r_1 e r_2 em A, e o plano que contém essas retas.
Entendimento prático: a interseção do gráfico com x=-2 é uma curva obtida fixando x=-2; descrevemos essa curva em \mathbb{R}^3 por um parâmetro (vamos usar y). Similarmente para y=7.
Curva \mathcal{C}_1 (com x=-2):
\mathcal{C}_1:\quad \mathbf{r}_1(y)=\big(-2,\;y,\;f(-2,y)\big) =\big(-2,\;y,\;3(-2)^2+y^2+3\big)=\big(-2,\;y,\;y^2+15\big).
A reta tangente r_1 em A tem vetor diretor dado pela derivada de \mathbf{r}_1 em y, avaliada em y=7:
\mathbf{r}_1'(y)=(0,1,2y)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_1=\mathbf{r}_1'(7)=(0,1,14).
Logo a reta tangente r_1 passa por A=(-2,7,64) e tem direção (0,1,14).
Curva \mathcal{C}_2 (com y=7):
\mathcal{C}_2:\quad \mathbf{s}_2(x)=\big(x,\;7,\;f(x,7)\big) =\big(x,\;7,\;3x^2+7^2+3\big)=\big(x,\;7,\;3x^2+52\big).
A reta tangente r_2 em A tem vetor diretor dado por \mathbf{s}_2'(x) em x=-2:
\mathbf{s}_2'(x)=(1,0,6x)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_2=\mathbf{s}_2'(-2)=(1,0,-12).
Logo r_2 passa por A e tem direção (1,0,-12).
O plano que contém r_1 e r_2 passa por A e tem como vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Um vetor normal ao plano é o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Calcule o produto vetorial:
\mathbf{v}_1=(0,1,14),\qquad \mathbf{v}_2=(1,0,-12).
\mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 1 & 14\\[4pt] 1 & 0 & -12 \end{vmatrix} =(-12,\,14,\,-1).
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal e obter um normal equivalente (12,-14,1). Este vetor normal coincide com o normal do plano tangente encontrado em (b), então o plano que contém r_1 e r_2 é exatamente o plano tangente de (b). Portanto a equação desse plano é a mesma de (b):
12x-14y+z+58=0.]

Passo 5

(d.1) Agora tratamos o plano tangente \Sigma no ponto P=(a,b,f(a,b)) cujo vetor normal é dado \vec{n}=(1,-1,1/6).
Observação importante (fórmula para normal do gráfico): para a superfície z=f(x,y) definida por F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, um vetor normal em (a,b,f(a,b)) é
\mathbf{N} = \big(-f_x(a,b),\; -f_y(a,b),\; 1\big).
No nosso caso f_x(x,y)=6x e f_y(x,y)=2y, então
\mathbf{N}=\big(-6a,\; -2b,\; 1\big).
Sabemos que \vec{n}=(1,-1,1/6) é ortogonal ao plano, então deve ser proporcional a \mathbf{N}: existe escalar \lambda tal que
(1,-1,1/6)=\lambda(-6a,-2b,1).
Compare coordenadas. Pela terceira coordenada:
\frac{1}{6}=\lambda\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\tfrac{1}{6}.
Usando a primeira coordenada:
1=\lambda\cdot(-6a)=\tfrac{1}{6}\cdot(-6a)=-a \quad\Rightarrow\quad a=-1.
Usando a segunda coordenada:
-1=\lambda\cdot(-2b)=\tfrac{1}{6}\cdot(-2b)=-\tfrac{b}{3} \quad\Rightarrow\quad -1=-\tfrac{b}{3}
\Rightarrow\quad \tfrac{b}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad b=3.
Então P=(a,b,f(a,b))=(-1,3,f(-1,3)). Calcule f(-1,3):
f(-1,3)=3(-1)^2+3^2+3=3\cdot 1+9+3=15.
Logo
P=(-1,3,15).

Passo 6

(d.2) Equação cartesiana do plano \Sigma com normal \vec{n}=(1,-1,\tfrac{1}{6}) passando por P=(-1,3,15).
Usamos a forma ponto-normal do plano:
1\cdot (x-(-1)) + (-1)\cdot (y-3) + \tfrac{1}{6}\cdot (z-15)=0.
Isso é
(x+1) - (y-3) + \tfrac{1}{6}(z-15)=0.
Simplificando os termos constantes: x - y + \tfrac{1}{6}z + \tfrac{3}{2}=0. Multiplicando por 6 para eliminar frações:
6x -6y + z +9 = 0.
Forma equivalente:
z = -6x +6y -9.

Passo 7

(e) Gradiente de h=f\circ g em (-3,5).
Lembrete da regra da cadeia para composição de escalares: se h=f\circ g com g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, então
\nabla h(\mathbf{x})=Dg(\mathbf{x})^{T}\,\nabla f\big(g(\mathbf{x})\big).
Aqui g(-3,5)=(-2,7). Primeiro calcule \nabla f no ponto (-2,7):
\nabla f(u,v)=(f_x(u,v),\,f_y(u,v))=(6u,\,2v),
então
\nabla f(-2,7)=\big(6(-2),\,2\cdot 7\big)=(-12,\,14).
A Jacobiana dada é
Dg(-3,5)=\begin{bmatrix}1 & -3\\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix},
então sua transposta é
Dg(-3,5)^{T}=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt] -3 & -1\end{bmatrix}.
Multiplicando pela coluna \nabla f(-2,7):
\nabla h(-3,5)=Dg(-3,5)^{T}\,\nabla f(-2,7) =\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt] -3 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-12\\[4pt] 14\end{bmatrix}.
Cálculo:
\text{primeira componente}=1\cdot(-12)+2\cdot 14=-12+28=16,
\text{segunda componente}=-3\cdot(-12)+(-1)\cdot 14=36-14=22.
Portanto
\nabla h(-3,5)=(16,\,22).]

Resposta

(a) f_{xx}-3f_{yy}=0.
(b) Plano tangente em A: z=-12x+14y-58 ou, em forma geral, 12x-14y+z+58=0.
(c) As retas tangentes têm direções (0,1,14) e (1,0,-12) e o plano que as contém é o mesmo da letra (b): 12x-14y+z+58=0.
(d.1) P=(-1,3,15).
(d.2) Equação do plano \Sigma: 6x-6y+z+9=0.
(e) \nabla h(-3,5)=(16,\,22).

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