Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=3 x^{2}+y^{2}+3.
(a) Mostre que f satisfaz e equação diferencial f_{x x}-3 f_{y y}=0.
(b) Determine a equação cartesiana (ou geral) do plano \Pi tangente ao gráfico de f no ponto A=(-2,7, f(-2,7)).
(c) Considere a curva \mathcal{C}_{1} que é a interseção do gráfico de f com o plano de equação x=-2 e a curva \mathcal{C}_{2} que é a interseção do gráfico de f com o plano de equação y=7. Sejam r_{1} e r_{2} as retas tangentes às curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}, respectivamente, no ponto A=(-2,7, f(-2,7)). Determine a equação cartesiana do plano que contém as retas r_{1} e r_{2}.
(d) Seja \Sigma o plano tangente ao gráfico no ponto P=(a, b, f(a, b)). Suponha que o vetor \vec{n}=(1,-1,1 / 6) é ortogonal ao plano \Sigma.
(d.1) Determine as coordenadas do ponto P.
(d.2) Determine a equação cartesiana (ou geral) do plano \Sigma.
(e) Sejam g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função derivável e h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} a função composta h=f_{\mathrm{o}} g. Suponha que g(-3,5)=(-2,7) e que a matriz jacobiana de g no ponto (-3,5) é
Determine \nabla h(-3,5) (ou seja, o vetor gradiente de h em (-3,5) ).
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=3x^{2}+y^{2}+3.
Informações e perguntas que temos:
Dados relevantes: a expressão explícita de f(x,y).
Ponto A=(-2,7,f(-2,7)). (Vamos calcular f(-2,7) quando necessário.)
Em (a) é pedido verificar a identidade diferencial f_{xx}-3f_{yy}=0.
Em (b) é pedido a equação cartesiana do plano \Pi tangente ao gráfico de f no ponto A.
Em (c) considerar as curvas \mathcal{C}_1 (interseção do gráfico com x=-2) e \mathcal{C}_2 (interseção do gráfico com y=7), determinar as retas tangentes r_1 e r_2 em A e o plano que contém essas retas.
Em (d) o plano tangente \Sigma no ponto P=(a,b,f(a,b)) tem um vetor normal dado \vec{n}=(1,-1,1/6). Pergunta-se (d.1) coordenadas de P e (d.2) a equação cartesiana de \Sigma.
Em (e) dada uma função diferenciável g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com g(-3,5)=(-2,7) e matriz jacobiana em (-3,5)
z = 64 + (-12)\big(x-(-2)\big) + 14\big(y-7\big) =64 -12(x+2) +14(y-7).
Expandindo e arrumando:
z = -12x +14y -58.
Forma cartesiana (geral) do plano (colocando tudo numa só expressão igual a zero):
12x -14y + z +58 = 0.
Passo 4
(c) Curvas \mathcal{C}_1 e \mathcal{C}_2, suas tangentes r_1 e r_2 em A, e o plano que contém essas retas.
Entendimento prático: a interseção do gráfico com x=-2 é uma curva obtida fixando x=-2; descrevemos essa curva em \mathbb{R}^3 por um parâmetro (vamos usar y). Similarmente para y=7.
O plano que contém r_1 e r_2 passa por A e tem como vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Um vetor normal ao plano é o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal e obter um normal equivalente (12,-14,1). Este vetor normal coincide com o normal do plano tangente encontrado em (b), então o plano que contém r_1 e r_2 é exatamente o plano tangente de (b). Portanto a equação desse plano é a mesma de (b):
12x-14y+z+58=0.]
Passo 5
(d.1) Agora tratamos o plano tangente \Sigma no ponto P=(a,b,f(a,b)) cujo vetor normal é dado \vec{n}=(1,-1,1/6).
Observação importante (fórmula para normal do gráfico): para a superfície z=f(x,y) definida por F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, um vetor normal em (a,b,f(a,b)) é