Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(b) \left\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\right\} com o produto interno definido em 1.d).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de matrizes
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1&1\\\ -1&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}
e pede para verificar se elas são ortogonais no espaço M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno definido em 1.d).

Passo 2

No espaço M_{2}(\mathbb{R}) o produto interno padrão é
\langle X,Y\rangle = \mathrm{tr}(X^{T}Y)
que, para matrizes reais, equivale a somar o produto de entradas correspondentes:
\langle X,Y\rangle = \sum_{i,j} x_{ij}\,y_{ij}.

Passo 3

Vamos calcular os produtos internos entre cada par de matrizes:
\langle A,B\rangle = \sum_{i,j} a_{ij}b_{ij} = (1)(-1)+(0)(1)+(0)(-1)+(-1)(0) = -1,
\langle A,C\rangle = (1)(0)+(0)(-1)+(0)(1)+(-1)(0) = 0,
\langle B,C\rangle = (-1)(0)+(1)(-1)+(-1)(1)+(0)(0) = -1 -1 = -2.

Passo 4

Para que o conjunto fosse ortogonal, todos os produtos internos entre matrizes distintas teriam de ser zero. Porém encontramos \langle A,B\rangle = -1\neq 0
e \langle B,C\rangle = -2\neq 0.
Portanto o conjunto não é ortogonal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal.

Exercícios relacionados