Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(4,5) e \vec{v}= (2,4). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}= (1,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,4), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 7\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • A base é \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} em \mathbb{R}^2.
  • Vetores no sistema canônico (coordenadas padrão) são \vec{u}=(4,5) e \vec{v}=(2,4).
  • As coordenadas desses vetores na base \beta são
    \;[\vec{u}]_{\beta}=(1,-1) e \;[\vec{v}]_{\beta}=(2,4).
  • O enunciado pergunta qual opção corresponde a \vec{b}_1; as opções dão apenas a segunda componente (o primeiro componente está marcado como *) variando de 1 a 8.
Resumo do que preciso encontrar: a segunda componente de \vec{b}_1 (ou, melhor ainda, a própria \vec{b}_1), para comparar com as alternativas.

Passo 2

Entendendo a relação entre coordenadas em base \beta e coordenadas padrão (relembre comigo de forma simples):
  • Se \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\}, então um vetor \vec{x} tem relação \vec{x} = x_1\vec{b}_1 + x_2\vec{b}_2,onde (x_1,x_2) = [\vec{x}]_{\beta} são as coordenadas de \vec{x} na base \beta.
  • Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v} podemos escrever duas equações vetoriais conhecidas em coordenadas padrão.
Isso é o conceito chave: coordenadas em \beta dizem quanto multiplicar cada vetor base \vec{b}_i para obter o vetor em coordenadas canônicas.

Passo 3

Vamos traduzir as coordenadas dadas em equações vetoriais na base canônica:
  • Para \vec{u}: como [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1), vale \vec{u} = 1\cdot\vec{b}_1 + (-1)\cdot\vec{b}_2 = \vec{b}_1 - \vec{b}_2.Em coordenadas padrão: (4,5) = \vec{b}_1 - \vec{b}_2.
  • Para \vec{v}: como [\vec{v}]_{\beta}=(2,4), vale \vec{v} = 2\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2.Em coordenadas padrão: (2,4) = 2\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2.
Essas duas equações são um sistema linear para encontrar \vec{b}_1 e \vec{b}_2.

Passo 4

Coloco componentes explícitas. Seja
\vec{b}_1 = \begin{pmatrix}a\\\ c\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_2 = \begin{pmatrix}b\\\ d\end{pmatrix}.
As duas equações vetoriais dão, componente a componente:
  • Da equação (4,5)=\vec{b}_1-\vec{b}_2: a - b = 4,\qquad c - d = 5.
  • Da equação (2,4)=2\vec{b}_1+4\vec{b}_2: 2a + 4b = 2,\qquad 2c + 4d = 4.
Agora resolvemos esse sistema para a,c,b,d. Nosso interesse principal é a e c (componentes de \vec{b}_1).

Passo 5

Resolvo as equações das primeiras componentes ( a,b):
As equações são
a - b = 4 \qquad\text{e}\qquad 2a + 4b = 2.
Simplifico a segunda dividindo por 2:
a + 2b = 1.
Agora substituo a da segunda na primeira ou vice-versa. Da segunda:
a = 1 - 2b.
Substituindo em a - b = 4:
(1 - 2b) - b = 4.
Simplificando:
1 - 3b = 4 \quad\Rightarrow\quad -3b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = -1.
Então
a = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3.
Portanto a primeira componente de \vec{b}_1 é a=3.

Passo 6

Resolvo as equações das segundas componentes ( c,d):
As equações são
c - d = 5 \qquad\text{e}\qquad 2c + 4d = 4.
Divido a segunda por 2:
c + 2d = 2.
Isolo c:
c = 2 - 2d.
Substituo em c - d = 5:
(2 - 2d) - d = 5.
Simplificando:
2 - 3d = 5 \quad\Rightarrow\quad -3d = 3 \quad\Rightarrow\quad d = -1.
Então
c = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4.
Portanto a segunda componente de \vec{b}_1 é c=4.

Passo 7

Concluindo os cálculos:
\vec{b}_1 = \begin{pmatrix}a\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\\ 4\end{pmatrix}.
O enunciado dá opções onde só a segunda componente varia; como \vec{b}_1 tem segunda componente 4, a alternativa correta é a que mostra \displaystyle\begin{pmatrix}*\\\ 4\end{pmatrix}, ou seja a opção (D).
Dica rápida para a prova: quando tiver coordenadas em outra base, escreva sempre a relação
\vec{x} = x_1\vec{b}_1 + x_2\vec{b}_2 e transforme em sistema para os componentes. Normalmente dá para eliminar diretamente como fizemos.

Resposta

(D)

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