Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(4,5) e \vec{v}= (2,4). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}= (1,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,4), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 7\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 8\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
A base é \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} em \mathbb{R}^2.
Vetores no sistema canônico (coordenadas padrão) são \vec{u}=(4,5) e \vec{v}=(2,4).
As coordenadas desses vetores na base \beta são \;[\vec{u}]_{\beta}=(1,-1) e \;[\vec{v}]_{\beta}=(2,4).
O enunciado pergunta qual opção corresponde a \vec{b}_1; as opções dão apenas a segunda componente (o primeiro componente está marcado como *) variando de 1 a 8.
Resumo do que preciso encontrar: a segunda componente de \vec{b}_1 (ou, melhor ainda, a própria \vec{b}_1), para comparar com as alternativas.
Passo 2
Entendendo a relação entre coordenadas em base \beta e coordenadas padrão (relembre comigo de forma simples):
Se \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\}, então um vetor \vec{x} tem relação\vec{x} = x_1\vec{b}_1 + x_2\vec{b}_2,onde (x_1,x_2) = [\vec{x}]_{\beta} são as coordenadas de \vec{x} na base \beta.
Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v} podemos escrever duas equações vetoriais conhecidas em coordenadas padrão.
Isso é o conceito chave: coordenadas em \beta dizem quanto multiplicar cada vetor base \vec{b}_i para obter o vetor em coordenadas canônicas.
Passo 3
Vamos traduzir as coordenadas dadas em equações vetoriais na base canônica:
Para \vec{u}: como [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1), vale\vec{u} = 1\cdot\vec{b}_1 + (-1)\cdot\vec{b}_2 = \vec{b}_1 - \vec{b}_2.Em coordenadas padrão:(4,5) = \vec{b}_1 - \vec{b}_2.
Para \vec{v}: como [\vec{v}]_{\beta}=(2,4), vale\vec{v} = 2\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2.Em coordenadas padrão:(2,4) = 2\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2.
Essas duas equações são um sistema linear para encontrar \vec{b}_1 e \vec{b}_2.
O enunciado dá opções onde só a segunda componente varia; como \vec{b}_1 tem segunda componente 4, a alternativa correta é a que mostra \displaystyle\begin{pmatrix}*\\\ 4\end{pmatrix}, ou seja a opção (D).
Dica rápida para a prova: quando tiver coordenadas em outra base, escreva sempre a relação \vec{x} = x_1\vec{b}_1 + x_2\vec{b}_2 e transforme em sistema para os componentes. Normalmente dá para eliminar diretamente como fizemos.