Verifique se os conjuntos dados representam um subespaço vetorial do conjunto \mathbf{V} dado:
\mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}, \mathbf{S}=\left\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \mathbf{x}=\mathbf{4 y}, \mathbf{z}=\mathbf{0}\right\};

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} e o subconjunto
\mathbf{S} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x = 4y,\;z = 0\}.
O conteúdo é verificar se \mathbf{S} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Para isso, checamos três condições:
  1. \mathbf{S} não é vazio (contém o vetor nulo).
  2. \mathbf{S} é fechado sob soma.
  3. \mathbf{S} é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a \mathbf{S}. Substituindo:
x = 0 \stackrel{?}{=} 4\cdot 0,\quad z = 0.
Como 0 = 4\cdot0 e z=0 são verdadeiros, concluímos (0,0,0)\in\mathbf{S}.

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos \mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf{v}=(x_{2},y_{2},z_{2}) em \mathbf{S}, ou seja
x_{1}=4y_{1},\;z_{1}=0, \quad x_{2}=4y_{2},\;z_{2}=0.
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})
e
x_{1}+x_{2} = 4y_{1} + 4y_{2} = 4(y_{1}+y_{2}), \quad z_{1}+z_{2} = 0 + 0 = 0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz x=4y e z=0, isto é, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in\mathbf{S}.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z)\in\mathbf{S} com x=4y e z=0. Então
\lambda\mathbf{u} = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z)
e verificamos
\lambda x = \lambda\cdot(4y) = 4(\lambda y), \quad \lambda z = \lambda\cdot0 = 0.
Isso mostra \lambda\mathbf{u}\in\mathbf{S}.

Resposta

O conjunto \mathbf{S} satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} e, portanto, é um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados