Verifique se os conjuntos dados representam um subespaço vetorial do conjunto \mathbf{V} dado:
\mathbf{V}=\boldsymbol{M}_{2 \times 2}, \boldsymbol{S}=\left\{\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \\\ \boldsymbol{c} & \mathbf{2 d}\end{array}\right) / \boldsymbol{a} \in \boldsymbol{R}, \boldsymbol{b}<\mathbf{0}, \boldsymbol{c}<\mathbf{0}, \boldsymbol{d} \in \boldsymbol{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = M_{2\times2}(\mathbb{R})
e o subconjunto
S = \left\{\,\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & 2d\end{pmatrix} : a,d\in\mathbb{R},\;b<0,\;c<0\right\}.
Queremos verificar se S é subespaço vetorial de V.]

Passo 2

Para S ser subespaço vetorial de V, é necessário e suficiente que valham simultaneamente:
  1. O vetor zero de V pertença a S.
  2. S seja fechado sob adição de matrizes.
  3. S seja fechado sob multiplicação por escalar real.

Passo 3

Teste do vetor zero: o elemento neutro em V é
0_V = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui temos b=0 e c=0, mas S exige b<0 e c<0. Logo
0_V\notin S.
Isso já impede S de ser subespaço.]

Passo 4

Para reforçar, note que se A\in S tem b<0, ao multiplicar por -1 obtém-se
-1\cdot A = \begin{pmatrix}-a & -b\\[3pt]-c & -2d\end{pmatrix},
onde agora -b>0 e -c>0, logo -1\cdot A\notin S. Falha a condição de fechamento sob escalar.]

Resposta

S não é subespaço vetorial de V.

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