Verifique se os conjuntos dados representam um subespaço vetorial do conjunto \mathbf{V} dado:
\mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}, \mathbf{S}=\left\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \mathbf{x}-\mathbf{3 z}=\mathbf{0}\right\};

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbf{V}=\mathbb{R}^{3} e o subconjunto \displaystyle \mathbf{S}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-3z=0\}.
O conteúdo é “subespaço vetorial” e vamos usar os critérios:
  1. \mathbf{S}\neq\emptyset (contém o vetor zero).
  2. \mathbf{S} é fechado sob adição.
  3. \mathbf{S} é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em \mathbf{S}.
Calculamos
0 - 3\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)\in \mathbf{S}, então \mathbf{S}\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob adição: seja
v=(x_{1},y_{1},z_{1})\in\mathbf{S},\quad w=(x_{2},y_{2},z_{2})\in\mathbf{S},
isto é,
x_{1}-3z_{1}=0 \quad\text{e}\quad x_{2}-3z_{2}=0.
Então
v+w=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})
e
(x_{1}+x_{2}) - 3(z_{1}+z_{2}) = (x_{1}-3z_{1}) + (x_{2}-3z_{2}) = 0 + 0 = 0.
Logo v+w\in\mathbf{S}.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e
v=(x,y,z)\in\mathbf{S} \quad\text{com}\quad x-3z=0.
Então
\alpha v = (\alpha x,\alpha y,\alpha z)
e
\alpha x - 3(\alpha z) = \alpha\,(x-3z) = \alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha v\in\mathbf{S}.

Resposta

\mathbf{S} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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