Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & -5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
está na forma escalonada por linhas. Lembre-se de que uma matriz está em forma escalonada por linhas se satisfaz três condições principais:
1. Toda linha nula (se existir) aparece abaixo de todas as linhas não-nulas.
2. O primeiro elemento não-nulo (pivô) de cada linha não-nula fica sempre à direita do pivô da linha imediatamente acima.
3. Linhas nulas, caso existam, ficam no fim da matriz.

Passo 2

Identificamos o pivô de cada linha não-nula:
– Na primeira linha, o pivô é 1 em coluna 1.
– Na segunda linha, o primeiro não-zero é 1 em coluna 3.
– Na terceira linha, o primeiro não-zero é 1 em coluna 2.

Passo 3

Comparemos as colunas dos pivôs de linha em linha:
– Linha 1 tem pivô em coluna 1.
– Linha 2 tem pivô em coluna 3, que está à direita de coluna 1 (ok).
– Linha 3 tem pivô em coluna 2, mas coluna 2 não está à direita de coluna 3 (violação!).

Passo 4

Essa violação da condição de que cada pivô deva aparecer estritamente mais à direita do que o pivô da linha acima impede que A esteja em forma escalonada por linhas.

Resposta

A matriz não está na forma escalonada por linhas, pois o pivô da terceira linha (coluna 2) não fica à direita do pivô da segunda linha (coluna 3).

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