Seja \mathcal{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right) uma matriz do tipo 3 \times 3. O traço da matriz \mathcal{A} é o número: \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Mostre que: \operatorname{Tr}\left(\mathcal{C}^{-1} \mathcal{A} \mathcal{C}\right)=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}), se \mathcal{C} é invertível .
Passo 1
O enunciado dá:
A matriz \mathcal{A} é 3\times3 com entradas mostradas, e o traço é \operatorname{Tr}(\mathcal{A})=a_{1}+b_{2}+c_{3} (ou, de forma geral, a soma das entradas da diagonal principal).
\mathcal{C} é uma matriz 3\times3 invertível (ou seja, existe \mathcal{C}^{-1} tal que \mathcal{C}^{-1}\mathcal{C}=\mathcal{I}, a matriz identidade).
Olhe o somatório interno \sum_{i=1}^{3} C_{ji}\,C^{-1}_{ik}. Pela propriedade da inversa, este somatório é exatamente a componente (j,k) da matriz \mathcal{C}\mathcal{C}^{-1}, que é a identidade. Portanto
Mas \sum_{k=1}^{3} A_{kk} é, por definição, \operatorname{Tr}(\mathcal{A}). Logo chegamos à igualdade desejada.
Passo 6
Comentário didático e interpretação: o que fizemos foi mostrar, passo a passo, que a soma das entradas diagonais de \mathcal{C}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{C} coincide com a soma das entradas diagonais de \mathcal{A} usando apenas a definição de produto matricial e a propriedade da inversa. Em linguagem mais compacta, usamos a propriedade cíclica do traço
que implica imediatamente \operatorname{Tr}(\mathcal{C}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{C})=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}\mathcal{C}\mathcal{C}^{-1})=\operatorname{Tr}(\mathcal{A}). A prova por componentes que fiz acima é a forma elementar e totalmente rigorosa dessa propriedade. Essa igualdade vale para qualquer matriz quadrada de ordem n, não só 3\times3.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para ter confiança): seja