Seja \mathrm{F}\left(\beta, n, e_{\min }, e_{\max }\right) a representação de um sistema de ponto flutuante onde \beta é a base do sistema, n é o número de dígitos da mantissa e e_{\min } e e_{\max } são respectivamente o menor e o maior expoente.
Dado o sistema de ponto flutuante F(10,3,-4,5), obtenha a representação de número de ponto flutuante normalizado para os seguintes números:
10.093

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos:
  • O enunciado pede: obter a representação em ponto flutuante normalizado de 10{,}093 no sistema F(10,3,-4,5).
  • Dados do sistema:
    • base: \beta = 10;
    • número de dígitos da mantissa: n = 3;
    • menor expoente: e_{\min} = -4;
    • maior expoente: e_{\max} = 5.
  • Informação do número a representar: o número real é 10{,}093.

Passo 2

O que significa “representação normalizada” e como escrever um número nesse formato
  • Um número em ponto flutuante normalizado tem a forma
\pm m \times \beta^{e},
onde:
  • \pm é o sinal (aqui + porque 10{,}093>0);
  • \beta é a base do sistema (aqui \beta=10);
  • m é a mantissa normalizada com n dígitos significativos no sistema de base \beta, isto é,
m = d_1.d_2 d_3\ldots d_n
com d_1\in\{1,2,\dots,9\} (o primeiro dígito não pode ser zero num formato normalizado) e cada d_i é um dígito da base;
  • e é o expoente inteiro que deve satisfazer e_{\min}\le e\le e_{\max}.
  • Para representar um número x no formato normalizado:
    1. Escreve-se x em notação científica na base \beta: x = \pm a \times \beta^{k} com 1 \le a < \beta.
    2. Ajusta-se a para ter exatamente n dígitos significativos (arredondando se necessário).
    3. Verifica-se se o expoente k final está no intervalo de [e_{\min},e_{\max}].

Passo 3

Colocar 10{,}093 em notação científica na base \beta=10
  • Escrevendo 10{,}093 como potência de 10 com a mantissa entre 1 e 10:
10{,}093 = 1{,}0093 \times 10^{1}.
Aqui:
  • a mantissa inicial é a = 1{,}0093;
  • o expoente inicial é k = 1.

Passo 4

Ajustar a mantissa para ter exatamente n=3 dígitos significativos — regra de arredondamento
  • Queremos uma mantissa m com 3 dígitos significativos na base 10: m = d_1.d_2 d_3 com d_1\neq 0.
  • A mantissa atual tem mais dígitos: a = 1{,}0093. Os dígitos significativos, na ordem, são 1,0,0,9,3,\dots.
  • Para ficar com os primeiros 3 dígitos significativos, observamos o quarto dígito para decidir o arredondamento:
    • Os três primeiros dígitos são 1,0,0 → provisoriamente 1{,}00.
    • O quarto dígito é 9. Usando o arredondamento para o mais próximo (regra usual: se o dígito seguinte é \ge 5, incrementa-se o último dígito mantido), devemos arredondar para cima o terceiro dígito significativo.
  • Aplicando o arredondamento:
    • O terceiro dígito (o último que vamos manter) passa de 0 para 1 por causa do 9 que vem depois.
    • Assim a mantissa arredondada fica m = 1{,}01.
Observação sobre possíveis “cascatas” de arredondamento: se o dígito a ser incrementado fosse 9, haveria carry para os dígitos anteriores; aqui isso não acontece porque era 0.

Passo 5

Montar a representação final e verificar o expoente
  • Após arredondamento temos
10{,}093 \approx +\,1{,}01 \times 10^{1}.
  • Verificar o expoente: e = 1 e o intervalo permitido é e_{\min}=-4 até e_{\max}=5. Como -4 \le 1 \le 5, o expoente está dentro do intervalo válido, logo a representação é admissível no sistema F(10,3,-4,5).

Resposta

1{,}01\times10^{1}

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