Seja Am times n uma matriz arbitrária. Mostre que
A cdot A^T e A^T cdot A
são matrizes simétricas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as matrizes A cdot A^T e A^T cdot A são simétricas. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e simetria. Para resolver isso, vamos usar a propriedade de transposta de matrizes e verificar se a transposta de cada produto é igual ao próprio produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz M é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, M = M^T .

Passo 3

Vamos começar demonstrando que A cdot A^T é simétrica. Calculamos a transposta dessa expressão:
(A cdot A^T)^T
Usando a propriedade da transposta do produto de matrizes, que diz que (B cdot C)^T = C^T cdot B^T , temos:
(A cdot A^T)^T = (A^T)^T cdot A^T
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a matriz original, ou seja, (A^T)^T = A . Então:
(A cdot A^T)^T = A cdot A^T
Como a transposta de A cdot A^T é igual a A cdot A^T , a matriz A cdot A^T é simétrica.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que A^T cdot A também é simétrica. Calculamos a transposta dessa expressão:
(A^T cdot A)^T
Aplicando a mesma propriedade da transposta do produto:
(A^T cdot A)^T = A^T cdot (A^T)^T
Como (A^T)^T = A , temos:
(A^T cdot A)^T = A^T cdot A
Portanto, a transposta de A^T cdot A é igual a A^T cdot A , o que significa que A^T cdot A é simétrica.

Resposta

Assim, demonstramos que tanto A cdot A^T quanto A^T cdot A são matrizes simétricas.

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