Seja
uma matriz arbitrária. Mostre que
são matrizes simétricas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as matrizes
e
são simétricas. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e simetria. Para resolver isso, vamos usar a propriedade de transposta de matrizes e verificar se a transposta de cada produto é igual ao próprio produto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
.
Passo 3
Vamos começar demonstrando que
é simétrica. Calculamos a transposta dessa expressão:
Usando a propriedade da transposta do produto de matrizes, que diz que
, temos:
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a matriz original, ou seja,
. Então:
Como a transposta de
é igual a
, a matriz
é simétrica.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
também é simétrica. Calculamos a transposta dessa expressão:
Aplicando a mesma propriedade da transposta do produto:
Como
, temos:
Portanto, a transposta de
é igual a
, o que significa que
é simétrica.
Resposta
Assim, demonstramos que tanto
quanto
são matrizes simétricas.