Seja (rrr-2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2) a matriz associada a um operador T em relação à base (1,0,1),(0,-1,1),(0,0,1).
Determine a lei de T.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base B=v1,v2,v3 de R^3, onde
v1=(1,0,1), v2=(0,-1,1), v3=(0,0,1),
e
[T]B=-2&0&00&1&00&0&2
Queremos a lei de T no sistema de coordenadas canônico (x,y,z). Para isso precisamos:
  1. Expressar um vetor genérico (x,y,z) em coordenadas de B.
  2. Aplicar a matriz diagonal.
  3. Voltar às coordenadas canônicas.

Passo 2

Seja w=(x,y,z). Escrevemos
w = a,v1 + b,v2 + c,v3 = a(1,0,1) + b(0,-1,1) + c(0,0,1) = (a,,-b,;a+b+c)
Assim o sistema é
a = x, -b = y, a+b+c = z
Logo
a = x, b = -y, c = z - a - b = z - x + y
Isto é,
[w]B = (a,b,c) = l(x,,-y,;z - x + yr)

Passo 3

Aplicando [T]B ao vetor de coordenadas (a,b,c) obtemos
[T(w)]B = l(-2a,;1cdot b,;2cr) = l(-2x,;-y,;2(z - x + y)r)

Passo 4

Para voltar ao canônico, usamos
T(w) = (-2x),v1 + (-y),v2 + 2(z - x + y),v3
Isto é
(-2x)(1,0,1) + (-y)(0,-1,1) + 2(z - x + y)(0,0,1)
Somando componente a componente:
x-componente:&;-2x + 0 + 0 = -2x, y-componente:&;0 + y + 0 = y, z-componente:&;-2x - y + 2(z - x + y) = -2x - y + 2z - 2x + 2y = -4x + y + 2z

Resposta

T(x,y,z) = l(-2x,;y,;-4x + y + 2zr)

Exercícios relacionados