Sendo
A=(ccc -1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 )
Mostre que A^n=P D^n P^-1. Sugestão: mostre que o resultado vale para n=1, e depois mostre que se o resultado vale para n, então vale para n+1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo ninN,
A^n=P,D^nP^-1,
onde A é a matriz dada. O conteúdo que vamos usar é diagonalização de matriz (isto é, encontrar P e D tais que A=PDP^-1) e prova por indução sobre n.

Passo 2

Primeiro, diagonalizamos A. Calculamos o polinômio característico de
A= -1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0
Temos
det(A-lambda I)=(-1-lambda)^2,(0-lambda)=-(lambda+1)^2,lambda,
logo os autovalores são lambda=-1 (multiplicidade 2) e lambda=0 (multiplicidade 1).
Para lambda=-1, resolvemos (A+I)x=0, o que dá x3=0 e x1,x2 livres. Um autovetor geral é (x1,x2,0), por exemplo tomamos
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0)
Para lambda=0, resolvemos Ax=0, o que dá x2=0 e x3=x1. Um autovetor é
v3=(1,0,1)
Definimos então
P= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , D= -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Mostramos que A,P=P,D. De fato, as colunas de P são os autovetores:
A,v1=-1,v1, A,v2=-1,v2, A,v3=0,v3
Isso implica A,P = P,D, e portanto
A = P,D,P^-1

Passo 4

Base da indução ( n=1): de A = P,D,P^-1 obtemos imediatamente
A^1 = P,D^1,P^-1

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para um certo n>=1 valha
A^n=P,D^n,P^-1
Então
A^n+1=A,A^n = A,(P,D^n,P^-1) = (A,P),D^n,P^-1 = (P,D),D^n,P^-1 = P,D^n+1,P^-1
Assim o resultado vale para n+1.

Resposta

Por indução, para todo ninN vale
A^n=P,D^n,P^-1

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