Sendo
Mostre que
A^n=P D^n P^-1 . Sugestão: mostre que o resultado vale para
n=1 , e depois mostre que se o resultado vale para
n , então vale para
n+1 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
ninN ,
onde
A é a matriz dada. O conteúdo que vamos usar é diagonalização de matriz (isto é, encontrar
P e
D tais que
A=PDP^-1 ) e prova por indução sobre
n .
Passo 2
Primeiro, diagonalizamos
A . Calculamos o polinômio característico de
Temos
logo os autovalores são
lambda=-1 (multiplicidade 2) e
lambda=0 (multiplicidade 1).
Paralambda=-1 , resolvemos
(A+I)x=0 , o que dá
x3=0 e
x1,x2 livres. Um autovetor geral é
(x1,x2,0) , por exemplo tomamos
Para
Para
lambda=0 , resolvemos
Ax=0 , o que dá
x2=0 e
x3=x1 . Um autovetor é
Definimos então
Passo 3
Mostramos que
A,P=P,D . De fato, as colunas de
P são os autovetores:
Isso implica
A,P = P,D , e portanto
Passo 4
Base da indução (
n=1 ): de
A = P,D,P^-1 obtemos imediatamente
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para um certo
n>=1 valha
Então
Assim o resultado vale para
n+1 .
Resposta
Por indução, para todo
ninN vale