Seja a matriz B=[ccc1 & 1 & 3 0 & -1 & 1] determine a matriz N, linha reduzida a forma escada equivalente a matriz B e uma matriz inversível M , de ordem 3 , tal que N=M B.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 1 & 1 & 3 0 & -1 & 1
e pede sua forma escalonada reduzida por linhas N e uma matriz invertível M tal que
N = M,B
O conteúdo necessário é o de operações elementares de linha e a representação dessas operações por matrizes elementares.

Passo 2

Identificamos o primeiro pivô em (1,1), que já vale 1. Para zerar abaixo não é preciso nada, pois B21=0. Mantemos
linha1 = (1;;1;;3), linha2 = (0;-1;1)

Passo 3

Agora escolhemos pivô em (2,2), que vale -1. Primeiro escalonamos essa linha dividindo por -1:
linha2 >=ts -1cdotlinha2 Longrightarrow (0;1;-1)
Em seguida, eliminamos o termo acima do pivô em (1,2) subtraindo a nova linha 2 da linha 1:
linha1 >=ts linha1 - linha2 Longrightarrow (1;0;4)
O resultado é
N = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -1

Passo 4

Cada operação corresponde a uma matriz elementar:
  1. Escalar linha 2 por -1:
E1 = 1 & 0 0 & -1
  1. Subtrair linha 2 de linha 1:
E2 = 1 & -1 0 & 1
Como fizemos primeiro E1 e depois E2, a matriz que aplica ambas é
M = E2,E1 = 1 & -10 & 1 1 & 00 & -1 = 1 & 10 & -1

Passo 5

Verificamos que
M,B = 1 & 10 & -1 1 & 1 & 30 & -1 & 1 = 1 & 0 & 40 & 1 & -1 = N

Resposta

N = 1 & 0 & 40 & 1 & -1, M = 1 & 10 & -1

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