Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
(e) E=[lll4 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 8]

Passo 1

O enunciado pede verificar se a matriz
E= 4 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 8
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar E^-1 usando operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada [Emid I] e escalonar até obter [Imid E^-1].

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada
l[E mid Ir] =[ccc|ccc 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 0 7 & 8 & 8 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Escolhemos o elemento ,4 em (1,1) como pivô. Dividimos a linha 1 por 4 e, em seguida, eliminamos as entradas abaixo na coluna 1 aplicando
L2>=ts L2-4L1, L3>=ts L3-7L1
O resultado é
[ccc|ccc 1 & tfrac12 & tfrac34 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 0 & tfrac92 & tfrac114 & -tfrac74 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora o pivô de L2 é 3 em (2,2). Dividimos L2 por 3 e eliminamos acima e abaixo na coluna 2 com
L1>=ts L1-tfrac12L2, L3>=ts L3-tfrac92L2
Fica
[ccc|ccc 1 & 0 & tfrac14 & tfrac512 & -tfrac16 & 0 0 & 1 & 1 & -tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & 0 & -tfrac74 & -tfrac14 & -tfrac32 & 1 ]

Passo 5

O pivô final é -tfrac74 em (3,3). Multiplicamos L3 por -tfrac47 para obter 1 e eliminamos acima na coluna 3:
L1>=ts L1-tfrac14L3, L2>=ts L2-1cdot L3
Isso leva a
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac821 & -tfrac821 & tfrac17 0 & 1 & 0 & -tfrac1021 & -tfrac1121 & tfrac47 0 & 0 & 1 & tfrac17 & tfrac67 & -tfrac47 ]

Resposta

A matriz E é invertível e sua inversa é
E^-1 = tfrac821 & -tfrac821 & tfrac17 -tfrac1021 & -tfrac1121 & tfrac47 tfrac17 & tfrac67 & -tfrac47

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