(1,5) Seja D=[cc3 & 0 0 & -2] matriz diagonal de um operador T: R^2 R^2 e v1=(1,2) e v2=(-1,0) são os vetores próprios do mesmo operador. Determine T(1,1).

Passo 1

O enunciado diz que v1=(1,2) e v2=(-1,0) são autovetores de T associados aos autovalores 3 e -2, respectivamente, de modo que, na base v1,v2, a matriz de T é diagonal
D = 3 & 0[6pt]0 & -2
Para encontrar T(1,1), vamos:
1) escrever (1,1) como combinação linear de v1 e v2,
2) aplicar T nessa combinação usando T(v1)=3,v1 e T(v2)=-2,v2,
3) voltar à base canônica.]

Passo 2

Procuramos escalares
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem . Logo
]

Passo 3

Agora aplicamos T a esse vetor, usando linearidade e o fato de v1,v2 serem autovetores:
T(1,1) = Tl(tfrac12,v1 - tfrac12,v2r) = tfrac12,T(v1) - tfrac12,T(v2) = tfrac12,(3,v1) ;-;tfrac12,(-2,v2) = tfrac32,v1 ;+;1cdot v2

Passo 4

Substituindo v1=(1,2) e v2=(-1,0) na expressão acima:
T(1,1) = tfrac32,(1,2) + 1cdot(-1,0) = l(tfrac32 - 1,;3 + 0r) = l(tfrac12,;3r)

Resposta

T(1,1) = l(tfrac12,,3r)

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