(1,5) Seja matriz diagonal de um operador T: R^2 R^2 ev1=(1,2) e v2=(-1,0) são os vetores próprios do mesmo operador. Determine T(1,1).
Passo 1
O enunciado diz que v1=(1,2) e v2=(-1,0) são autovetores de T associados aos autovalores 3 e -2, respectivamente, de modo que, na base v1,v2, a matriz de T é diagonal
D = 3 & 0[6pt]0 & -2
Para encontrar T(1,1), vamos: 1) escrever (1,1) como combinação linear de v1 e v2, 2) aplicar T nessa combinação usando T(v1)=3,v1 e T(v2)=-2,v2, 3) voltar à base canônica.]
Passo 2
Procuramos escalares
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem dá . Logo
]
Passo 3
Agora aplicamos T a esse vetor, usando linearidade e o fato de v1,v2 serem autovetores: