Seja D uma matriz diagonal 3 times 3. Represente D na forma matricial e calcule D^2, D^3, D^n, para n natural. Generalize esse resultado para uma matriz diagonal de qualquer ordem.

Passo 1

O enunciado pede para representar uma matriz diagonal 3times3, chamada D, e calcular suas potências D^2, D^3 e D^n (com n natural). O conteúdo envolve propriedades de multiplicação de matrizes diagonais.

Passo 2

Escrevemos a forma geral de
D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 ,
onde d1,d2,d3 são os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Ao multiplicar duas matrizes diagonais, cada elemento fora da diagonal continua zero e cada elemento da diagonal principal se multiplica com seu correspondente. Assim,
D^2 = D cdot D = d1^2 & 0 & 0 0 & d2^2 & 0 0 & 0 & d3^2 ,
D^3 = D^2 cdot D = d1^3 & 0 & 0 0 & d2^3 & 0 0 & 0 & d3^3

Passo 4

Por indução ou observação direta, para todo ninN temos
D^n = underbraceDcdot Dcdots Dn vezes = d1^n & 0 & 0 0 & d2^n & 0 0 & 0 & d3^n

Passo 5

Para uma matriz diagonal de ordem k,
Dk = d1 & 0 & cdots & 0 0 & d2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dk ,
a mesma lógica vale, resultando em
Dk^,n = d1^n & 0 & cdots & 0 0 & d2^n & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dk^n

Resposta

Representação:
D= d1&0&0 0&d2&0 0&0&d3
Potências:
D^2= d1^2&0&0 0&d2^2&0 0&0&d3^2 , D^3= d1^3&0&0 0&d2^3&0 0&0&d3^3 , D^n= d1^n&0&0 0&d2^n&0 0&0&d3^n
Generalização para ordem k:
Dk^n=diagl(d1^n,dots,dk^nr)

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