Seja uma matriz inversível de ordem 3 e seja . Encontre, caso exista, o valor de k tal que a matriz A=M N-M não seja inversível.
Passo 1
O enunciado diz que M é uma matriz invertível de ordem 3 e que
N = 1 & 2 & 3 0 & -1 & k 3 & 2 & 5
Definimos A = M N - M e queremos achar o(s) valor(es) de k para os quais Anão é invertível. O conteúdo aqui é a relação entre determinante e invertibilidade de matrizes e a propriedade det(AB)=det(A)det(B).
Passo 2
Reescrevemos
A = M N - M = M,(N - I),
onde I é a matriz identidade 3times3. Logo,
det(A) = detl(M,(N-I)r) = det(M),det(N - I)
Como M é invertível, det(M)neq0. Portanto, A deixa de ser invertível exatamente quando
det(N - I) = 0
Passo 3
Calculamos N - I:
N - I = 1-1 & 2 & 3 0 & -1-1& k 3 & 2 & 5-1 = 0 & 2 & 3 0 & -2& k 3 & 2 & 4
Para achar det(N-I) expandimos pela primeira linha: