Seja
A=(ll a & b c & d )
uma matriz ortogonal (A^-1=A^t) tal que det(A)=1. Mostre que
A=(cc cos (theta1) & -sen(theta1) sen(theta1) & cos (theta1) )

Passo 1

O enunciado dá uma matriz ortogonal em (isto é, ) e com . Queremos mostrar que é exatamente a matriz de rotação de certo ângulo :
Para isso usaremos as condições de ortogonalidade (colunas ortonormais) e a condição .

Passo 2

Da ortogonalidade A^tA=I seguem três equações:
a^2 + c^2 = 1, b^2 + d^2 = 1, ab + cd = 0
As duas primeiras dizem que cada coluna de A tem norma 1, e a terceira que as colunas são ortogonais entre si.

Passo 3

Como , o vetor descreve um ponto do círculo unitário. Logo existe tal que

Passo 4

A segunda coluna também tem norma e é ortogonal à primeira. No círculo unitário, os únicos vetores ortogonais a são
Portanto

Passo 5

Resta escolher o sinal correto usando det(A)=ad - bc=1. Substituindo
a=cos(theta1), c=sin(theta1), b=-sin(theta1), d=cos(theta1)
têm-se
ad - bc = cos(theta1)cos(theta1) - l(-sin(theta1)r)sin(theta1) = cos^2(theta1) + sin^2(theta1) =1
Se tivéssemos escolhido o sinal negativo extra, o determinante daria -1, o que não é permitido. Assim o sinal “ +” é o único compatível com det(A)=1.

Resposta

A = cos(theta1) & -sin(theta1) sin(theta1) & cos(theta1)

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