Seja
uma matriz ortogonal
tal que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz ortogonal em
(isto é,
) e com
. Queremos mostrar que
é exatamente a matriz de rotação de certo ângulo
:
Para isso usaremos as condições de ortogonalidade (colunas ortonormais) e a condição
.
Passo 2
Da ortogonalidade
seguem três equações:
As duas primeiras dizem que cada coluna de
tem norma
, e a terceira que as colunas são ortogonais entre si.
Passo 3
Como
, o vetor descreve um ponto do círculo unitário. Logo existe
tal que
Passo 4
A segunda coluna também tem norma
e é ortogonal à primeira. No círculo unitário, os únicos vetores ortogonais a
são
Portanto
Passo 5
Resta escolher o sinal correto usando
. Substituindo
têm-se
Se tivéssemos escolhido o sinal negativo extra, o determinante daria
, o que não é permitido. Assim o sinal “
” é o único compatível com
.