Seja uma matriz invertível e um inteiro não negativo. Mostre que: é invertível e .
Passo 1
O enunciado pede para uma matriz invertível e um inteiro não negativo mostrar que também é invertível e que
Vamos usar as propriedades básicas de matrizes invertíveis: a associatividade da multiplicação e o fato de que o inverso de um produto é o produto dos inversos em ordem reversa.
Passo 2
Caso : por definição
onde é a matriz identidade. Sabemos que é invertível e . Assim
e também
Logo, todas as igualdades se confirmam para .
Passo 3
Agora seja . Considere o produto
Como a multiplicação de matrizes é associativa, podemos escrever
Cada fator A,A^-1 é I, logo o produto total é I. Isso mostra que (A^-1)^m é inverso à direita de A^m. De modo análogo
(A^-1)^m,A^m=I,
mostrando que (A^-1)^m é também inverso à esquerda. Portanto A^m é invertível e
l(A^mr)^-1=(A^-1)^m
Por definição de potência com expoente negativo, temos ainda
A^-m=l(A^mr)^-1
Juntando as duas últimas igualdades chega-se a
l(A^mr)^-1=A^-m=(A^-1)^m
Resposta
Mostramos que para todo inteiro não negativo m vale