Seja A uma matriz invertível e m um inteiro não negativo. Mostre que:
A^m é invertível e (A^m)^-1=A^-m=(A^-1)^m.

Passo 1

O enunciado pede para uma matriz invertível A e um inteiro não negativo m mostrar que A^m também é invertível e que
l(A^mr)^-1 ;=; A^-m ;=;l(A^-1r)^m
Vamos usar as propriedades básicas de matrizes invertíveis: a associatividade da multiplicação e o fato de que o inverso de um produto é o produto dos inversos em ordem reversa.

Passo 2

Caso m=0: por definição
A^0=I,
onde I é a matriz identidade. Sabemos que I é invertível e I^-1=I. Assim
(A^0)^-1=I^-1=I,
e também
A^-0=A^0=I, (A^-1)^0=I
Logo, todas as igualdades se confirmam para m=0.

Passo 3

Agora seja m>=1. Considere o produto
A^m,(A^-1)^m
Como a multiplicação de matrizes é associativa, podemos escrever
A^m,(A^-1)^m =underbrace(A,Acdots A)m vezes ;underbrace(A^-1A^-1cdots A^-1)m vezes =underbrace(A,A^-1)(A,A^-1)cdots(A,A^-1)m vezes
Cada fator A,A^-1 é I, logo o produto total é I. Isso mostra que (A^-1)^m é inverso à direita de A^m. De modo análogo
(A^-1)^m,A^m=I,
mostrando que (A^-1)^m é também inverso à esquerda. Portanto A^m é invertível e
l(A^mr)^-1=(A^-1)^m
Por definição de potência com expoente negativo, temos ainda
A^-m=l(A^mr)^-1
Juntando as duas últimas igualdades chega-se a
l(A^mr)^-1=A^-m=(A^-1)^m

Resposta

Mostramos que para todo inteiro não negativo m vale
A^m é invertível e l(A^mr)^-1=A^-m=(A^-1)^m éí

Exercícios relacionados