Considere o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0 \end{array}\right.
a) Encontre a solução exata;
b) Qual o método iterativo mais apropriado para construir uma sequência de aproximações da solução do sistema acima?
c) Resolva-o pelo método de Gauss-Seidel com aproximação inicial \mathbf{X}^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T} e precisão de 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5, \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6, \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0, \end{array}\right.
e pede três coisas:
  • (a) encontrar a solução exata do sistema;
  • (b) dizer qual o método iterativo mais apropriado para construir uma sequência de aproximações da solução;
  • (c) aplicar o método de Gauss–Seidel com \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^{T} até obter precisão 10^{-2} entre iterações (ou seja, parar quando a diferença máxima entre componentes de duas iterações consecutivas for menor que 10^{-2}).
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • As três equações do sistema (listadas acima).
  • Aproximação inicial para o método iterativo: \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^{T}.
  • Critério de parada: precisão 10^{-2} (diferença máxima entre iterações consecutivas).

Passo 2

Resolver exatamente por eliminação (substituição): vou manipular as equações para reduzir o sistema e obter cada variável.
Começo escrevendo a terceira equação de forma mais simples. A terceira equação é
3x_1+3x_2+6x_3=0.
Dividindo por 3 obtemos
x_1+x_2+2x_3=0.
Desse modo posso isolar x_1:
x_1 = -x_2 - 2x_3.
Isto é útil porque expressa x_1 em função de x_2 e x_3 e reduz o número de incógnitas nas outras equações.

Passo 3

Substituo x_1 = -x_2 - 2x_3 nas duas primeiras equações para obter um sistema de duas equações em x_2 e x_3.
Primeira equação:
5x_1 + x_2 + x_3 = 5.
Substituindo x_1:
5(-x_2 - 2x_3) + x_2 + x_3 = 5.
Desenvolvendo:
-5x_2 -10x_3 + x_2 + x_3 = 5 \quad\Rightarrow\quad -4x_2 -9x_3 = 5.
Multiplicando por -1:
4x_2 + 9x_3 = -5. \tag{A}
Segunda equação:
3x_1 + 4x_2 + x_3 = 6.
Substituindo x_1:
3(-x_2 - 2x_3) + 4x_2 + x_3 = 6.
Desenvolvendo:
-3x_2 -6x_3 +4x_2 + x_3 = 6 \quad\Rightarrow\quad x_2 -5x_3 = 6. \tag{B}
Agora resolvo o sistema linear formado por (A) e (B).

Passo 4

Resolver o sistema 2×2:
\begin{cases} 4x_2 + 9x_3 = -5,\\[4pt] x_2 - 5x_3 = 6. \end{cases}
Da segunda equação isolamos x_2:
x_2 = 6 + 5x_3.
Substituindo em (A):
4(6 + 5x_3) + 9x_3 = -5.
Calculo passo a passo:
24 + 20x_3 + 9x_3 = -5 \quad\Rightarrow\quad 24 + 29x_3 = -5.
Isolando x_3:
29x_3 = -29 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -1.
Com x_3=-1, voltamos para x_2 = 6 + 5x_3:
x_2 = 6 + 5(-1) = 6 -5 = 1.
E então x_1 = -x_2 - 2x_3:
x_1 = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1.
Portanto a solução exata é x_1=1,\; x_2=1,\; x_3=-1.]

Passo 5

Breve aula sobre métodos iterativos e critério de escolha (didática e intuitiva):
  • Métodos iterativos clássicos para sistemas lineares incluem o método de Jacobi e o método de Gauss–Seidel. Ambos constroem sequências \mathbf{X}^{(k)} que, se convergirem, aproximam a solução do sistema.
  • A forma de iteração vem de escrever cada equação isolando a incógnita da diagonal. Por exemplo, isolando x_1 dá-se a fórmula iterativa correspondente.
  • Critérios práticos de convergência:
    • Uma condição simples (suficiente) que garante convergência de Jacobi e Gauss–Seidel é que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou que seja simétrica definida positiva (entre outras condições).
    • Diagonalmente dominante por linhas significa, para cada linha i, |a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
    • Gauss–Seidel tende a convergir mais rápido que Jacobi quando ambos convergem, pois usa valores já atualizados dentro da mesma iteração.
  • Por isso, para escolher entre Jacobi e Gauss–Seidel, verifica-se a dominância diagonal da matriz e prefere-se Gauss–Seidel quando essa condição (ou outra que garanta convergência) for verificada: geralmente GS é mais apropriado por convergir mais rápido.

Passo 6

Aplicando esse raciocínio ao nosso sistema: a matriz dos coeficientes é
A= \begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\[2pt] 3 & 4 & 1\\[2pt] 3 & 3 & 6 \end{pmatrix}.
Verifico a dominância diagonal por linhas:
  • Linha 1: |5| \ge |1|+|1| \Rightarrow 5 \ge 2 (estrita).
  • Linha 2: |4| \ge |3|+|1| \Rightarrow 4 \ge 4 (igualdade, não estrita).
  • Linha 3: |6| \ge |3|+|3| \Rightarrow 6 \ge 6 (igualdade).
    Portanto a matriz é diagonalmente dominante (com duas desigualdades não estritas). Essa dominância é suficiente, na prática, para que o método de Gauss–Seidel convirja neste caso; além disso, Gauss–Seidel costuma ser mais eficiente que Jacobi. Por esses motivos, o método iterativo mais apropriado aqui é o método de Gauss–Seidel.]

Passo 7

Derivar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel (explicando para usar na prática, passo a passo):
Isolando cada variável nas equações originais:
  • Da primeira equação: x_1 = \frac{5 - x_2 - x_3}{5}.
  • Da segunda: x_2 = \frac{6 - 3x_1 - x_3}{4}.
  • Da terceira (mais simples se simplificar primeiro): como vimos, x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -\frac{x_1 + x_2}{2}.
No método de Gauss–Seidel, ao computar a iteração k+1 usa-se imediatamente as componentes já calculadas nessa mesma iteração. Assim, as fórmulas de atualização na ordem x_1, x_2, x_3 são:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{5 - x_2^{(k)} - x_3^{(k)}}{5},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{6 - 3x_1^{(k+1)} - x_3^{(k)}}{4},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= -\frac{x_1^{(k+1)} + x_2^{(k+1)}}{2}. \end{aligned}
Essas são as fórmulas que vamos aplicar iterativamente, começando por \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^T.]

Passo 8

Executar as iterações (calcular manualmente cada passo, com detalhes aritméticos). Critério de parada: diferença máxima entre componentes consecutivas <10^{-2}.
Iteração k=0 \to 1 (usando \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{5 - 0 - 0}{5} = 1,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{6 - 3\cdot 1 - 0}{4} = \frac{3}{4} = 0,75,\\[4pt] x_3^{(1)} &= -\frac{1 + 0,75}{2} = -\frac{1,75}{2} = -0,875. \end{aligned}
Logo \mathbf{X}^{(1)} = (1,\;0{,}75,\;-0{,}875)^T.]

Passo 9

Iteração k=1 \to 2:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{5 - 0{,}75 - (-0{,}875)}{5} = \frac{5 + 0{,}125}{5} = \frac{5{,}125}{5} = 1{,}025,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \frac{6 - 3\cdot 1{,}025 - (-0{,}875)}{4} = \frac{6 - 3{,}075 + 0{,}875}{4} = \frac{3{,}8}{4} = 0{,}95,\\[4pt] x_3^{(2)} &= -\frac{1{,}025 + 0{,}95}{2} = -\frac{1{,}975}{2} = -0{,}9875. \end{aligned}
Logo \mathbf{X}^{(2)} = (1{,}025,\;0{,}95,\;-0{,}9875)^T.
Calculo da diferença máxima entre \mathbf{X}^{(2)} e \mathbf{X}^{(1)}:
\max\{|1{,}025-1|,\;|0{,}95-0{,}75|,\;|-0{,}9875-(-0{,}875)|\} = \max\{0{,}025,\;0{,}20,\;0{,}1125\} = 0{,}20,
que é maior que 10^{-2}. Continuamos.]

Passo 10

Iteração k=2 \to 3:
\begin{aligned} x_1^{(3)} &= \frac{5 - 0{,}95 - (-0{,}9875)}{5} = \frac{5 + 0{,}0375}{5} = 1{,}0075,\\[4pt] x_2^{(3)} &= \frac{6 - 3\cdot 1{,}0075 - (-0{,}9875)}{4} = \frac{6 - 3{,}0225 + 0{,}9875}{4} = \frac{3{,}965}{4} = 0{,}99125,\\[4pt] x_3^{(3)} &= -\frac{1{,}0075 + 0{,}99125}{2} = -\frac{1{,}99875}{2} = -0{,}999375. \end{aligned}
Logo \mathbf{X}^{(3)} = (1{,}0075,\;0{,}99125,\;-0{,}999375)^T.
Diferença máxima entre \mathbf{X}^{(3)} e \mathbf{X}^{(2)}:
\max\{0{,}0175,\;0{,}04125,\;0{,}011875\} = 0{,}04125 > 10^{-2}.
Ainda não atingimos a precisão pedida.]

Passo 11

Iteração k=3 \to 4:
\begin{aligned} x_1^{(4)} &= \frac{5 - 0{,}99125 - (-0{,}999375)}{5} = \frac{5 + 0{,}008125}{5} = 1{,}001625,\\[4pt] x_2^{(4)} &= \frac{6 - 3\cdot 1{,}001625 - (-0{,}999375)}{4} = \frac{6 - 3{,}004875 + 0{,}999375}{4} = \frac{3{,}9945}{4} = 0{,}998625,\\[4pt] x_3^{(4)} &= -\frac{1{,}001625 + 0{,}998625}{2} = -\frac{2{,}00025}{2} = -1{,}000125. \end{aligned}
Logo \mathbf{X}^{(4)} = (1{,}001625,\;0{,}998625,\;-1{,}000125)^T.
Diferença máxima entre \mathbf{X}^{(4)} e \mathbf{X}^{(3)}:
\max\{0{,}005875,\;0{,}007375,\;0{,}00075\} = 0{,}007375 < 10^{-2}.
Portanto o critério de precisão 10^{-2} foi satisfeito após 4 iterações completas.]

Passo 12

Interpretação final dos resultados práticos:
  • A sequência de Gauss–Seidel converge rapidamente para a solução exata (1,1,-1).
  • Com critério de parada 10^{-2} e \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^T, a iteração parou em k=4 com \mathbf{X}^{(4)}\approx (1{,}001625,\;0{,}998625,\;-1{,}000125)^T, que arredondada com a precisão pedida dá (1{,}00,\;1{,}00,\;-1{,}00)^T.

Resposta

\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}
Gauss–Seidel
\begin{pmatrix}1{,}00\\[2pt]1{,}00\\[2pt]-1{,}00\end{pmatrix}]

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