a) Encontre a solução exata;
b) Qual o método iterativo mais apropriado para construir uma sequência de aproximações da solução do sistema acima?
c) Resolva-o pelo método de Gauss-Seidel com aproximação inicial \mathbf{X}^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T} e precisão de 10^{-2}.
(b) dizer qual o método iterativo mais apropriado para construir uma sequência de aproximações da solução;
(c) aplicar o método de Gauss–Seidel com \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^{T} até obter precisão 10^{-2} entre iterações (ou seja, parar quando a diferença máxima entre componentes de duas iterações consecutivas for menor que 10^{-2}).
Informações relevantes dadas explicitamente:
As três equações do sistema (listadas acima).
Aproximação inicial para o método iterativo: \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^{T}.
Critério de parada: precisão 10^{-2} (diferença máxima entre iterações consecutivas).
Passo 2
Resolver exatamente por eliminação (substituição): vou manipular as equações para reduzir o sistema e obter cada variável.
Começo escrevendo a terceira equação de forma mais simples. A terceira equação é
3x_1+3x_2+6x_3=0.
Dividindo por 3 obtemos
x_1+x_2+2x_3=0.
Desse modo posso isolar x_1:
x_1 = -x_2 - 2x_3.
Isto é útil porque expressa x_1 em função de x_2 e x_3 e reduz o número de incógnitas nas outras equações.
Passo 3
Substituo x_1 = -x_2 - 2x_3 nas duas primeiras equações para obter um sistema de duas equações em x_2 e x_3.
Portanto a solução exata é x_1=1,\; x_2=1,\; x_3=-1.]
Passo 5
Breve aula sobre métodos iterativos e critério de escolha (didática e intuitiva):
Métodos iterativos clássicos para sistemas lineares incluem o método de Jacobi e o método de Gauss–Seidel. Ambos constroem sequências \mathbf{X}^{(k)} que, se convergirem, aproximam a solução do sistema.
A forma de iteração vem de escrever cada equação isolando a incógnita da diagonal. Por exemplo, isolando x_1 dá-se a fórmula iterativa correspondente.
Critérios práticos de convergência:
Uma condição simples (suficiente) que garante convergência de Jacobi e Gauss–Seidel é que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou que seja simétrica definida positiva (entre outras condições).
Diagonalmente dominante por linhas significa, para cada linha i,|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Gauss–Seidel tende a convergir mais rápido que Jacobi quando ambos convergem, pois usa valores já atualizados dentro da mesma iteração.
Por isso, para escolher entre Jacobi e Gauss–Seidel, verifica-se a dominância diagonal da matriz e prefere-se Gauss–Seidel quando essa condição (ou outra que garanta convergência) for verificada: geralmente GS é mais apropriado por convergir mais rápido.
Passo 6
Aplicando esse raciocínio ao nosso sistema: a matriz dos coeficientes é
Linha 1: |5| \ge |1|+|1| \Rightarrow 5 \ge 2 (estrita).
Linha 2: |4| \ge |3|+|1| \Rightarrow 4 \ge 4 (igualdade, não estrita).
Linha 3: |6| \ge |3|+|3| \Rightarrow 6 \ge 6 (igualdade).
Portanto a matriz é diagonalmente dominante (com duas desigualdades não estritas). Essa dominância é suficiente, na prática, para que o método de Gauss–Seidel convirja neste caso; além disso, Gauss–Seidel costuma ser mais eficiente que Jacobi. Por esses motivos, o método iterativo mais apropriado aqui é o método de Gauss–Seidel.]
Passo 7
Derivar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel (explicando para usar na prática, passo a passo):
Isolando cada variável nas equações originais:
Da primeira equação:x_1 = \frac{5 - x_2 - x_3}{5}.
Da segunda:x_2 = \frac{6 - 3x_1 - x_3}{4}.
Da terceira (mais simples se simplificar primeiro): como vimos,x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -\frac{x_1 + x_2}{2}.
No método de Gauss–Seidel, ao computar a iteração k+1 usa-se imediatamente as componentes já calculadas nessa mesma iteração. Assim, as fórmulas de atualização na ordem x_1, x_2, x_3 são:
Essas são as fórmulas que vamos aplicar iterativamente, começando por \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^T.]
Passo 8
Executar as iterações (calcular manualmente cada passo, com detalhes aritméticos). Critério de parada: diferença máxima entre componentes consecutivas <10^{-2}.
Portanto o critério de precisão 10^{-2} foi satisfeito após 4 iterações completas.]
Passo 12
Interpretação final dos resultados práticos:
A sequência de Gauss–Seidel converge rapidamente para a solução exata (1,1,-1).
Com critério de parada 10^{-2} e \mathbf{X}^{(0)}=(0,0,0)^T, a iteração parou em k=4 com \mathbf{X}^{(4)}\approx (1{,}001625,\;0{,}998625,\;-1{,}000125)^T, que arredondada com a precisão pedida dá (1{,}00,\;1{,}00,\;-1{,}00)^T.