1. Seja A uma matriz m times n com m>n. Seja b in R^m e suponha que N(A)=0.
    (a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de A ? Eles são linearmente independentes? Eles geram R^m ? Explique.
    (b) Quantas soluções o sistema A x=b vai ter se b não pertencer ao espaço coluna de A ? Quantas soluções o sistema vai ter se b pertencer ao espaço coluna de A ? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz mtimes n com m>n, que binR^m e que o núcleo de A é trivial, isto é,
N(A)=0
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais aplicada a sistemas lineares: núcleo, posto, independência linear e geração de subespaços, além de existência e unicidade de soluções de Ax=b.

Passo 2

De segue que a única solução do sistema homogêneo é . Isso significa, pela definição de independência linear, que as colunas de são linearmente independentes. Em outras palavras,

Passo 3

Como e , o espaço coluna de , , tem dimensão , que é menor que . Logo é um subespaço próprio de e não coincide com todo . Portanto as colunas de não geram .

Passo 4

Para o sistema :
  • Se , então não há combinação linear das colunas de que produza , logo o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Se , então existe pelo menos uma solução particular . Mas como o núcleo é trivial, qualquer outra solução seria com , e como forçosamente, a solução é única.

Resposta

(a) As colunas de são linearmente independentes, porém não geram (pois ).
(b) Se , não há solução. Se , existe exatamente uma solução.

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