- Seja A uma matriz
com
. Seja
e suponha que
.
(a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de
? Eles são linearmente independentes? Eles geram
? Explique.
(b) Quantas soluções o sistema
vai ter se b não pertencer ao espaço coluna de
? Quantas soluções o sistema vai ter se b pertencer ao espaço coluna de
? Explique.
(a) O que você pode concluir sobre os vetores colunas de
(b) Quantas soluções o sistema
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
com
, que
e que o núcleo de
é trivial, isto é,
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais aplicada a sistemas lineares: núcleo, posto, independência linear e geração de subespaços, além de existência e unicidade de soluções de
.
Passo 2
De
segue que a única solução do sistema homogêneo
é
. Isso significa, pela definição de independência linear, que as colunas de
são linearmente independentes. Em outras palavras,
Passo 3
Como e
, o espaço coluna de
, , tem dimensão
, que é menor que
. Logo é um subespaço próprio de
e não coincide com todo
. Portanto as colunas de
não geram
.
Passo 4
Para o sistema
:
- Se , então não há combinação linear das colunas de
que produza , logo o sistema é inconsistente e não tem solução. - Se , então existe pelo menos uma solução particular
. Mas como o núcleo é trivial, qualquer outra solução seria com , e como forçosamente, a solução é única.
Resposta
(a) As colunas de
são linearmente independentes, porém não geram
(pois ).
(b) Se , não há solução. Se , existe exatamente uma solução.
(b) Se , não há solução. Se , existe exatamente uma solução.