Resolva o sistema linear abaixo utilizando eliminaçãc gaussiana sem pivoteamento parcial:
[lll 1 & 6 & 0 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 ][l x1 x2 x3 ]==[l 3 1 1 ]
Utilizando os cálculos realizados, exiba os fatores L e U tais que a matriz de coeficientes do sistema possa ser escrita como A=L U.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente resolver o sistema
[
1 & 6 & 0 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 x1x2x3 = 311


]
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial e, depois, exibir as matrizes e de forma que .
Conteúdo envolvido: eliminação de Gauss, fatoração LU e substituição retroativa. Vamos precisar entender o conceito de “multiplicador” (os ) que zera elementos abaixo do pivô, e depois como montar e .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada e começamos a eliminar para zerar abaixo de l[Amid br] = 1 & 6 & 0 &mid& 3 2 & 1 & 0 &mid& 1 0 & 2 & 1 &mid& 1 .
[
\bigl[A\mid b\bigr]

l21 = a21a11 = 21 = 2 .
]
Teoria rápida: para zerar o elemento Row2 &: (2,,1,,0mid1) - 2,(1,,6,,0mid3) &= (2-2,,1-12,,0-0mid1-6) = (0,,-11,,0mid -5) , usamos o multiplicador
Então substituímos
:
Anotamos na nossa (linha 2, coluna 1).

Passo 3

Agora, para a coluna 1, linha 3 já está zerada ( l32 = a32u22 = 2-11 = -tfrac211 ), então Row3 &: (0,,2,,1mid1) -l(-tfrac211r),(0,,-11,,0mid-5) &= (0,,2 + 2,;1-0mid1-tfrac-211cdot(-5)) = (0,,4,,1mid1-tfrac1011) = (0,,0,,1midtfrac111), .
Passando à segunda coluna, nosso pivô agora é U = 1 & 6 & 0 0 & -11 & 0 0 & 0 & 1 . Queremos zerar , então
Atualizamos
:
já que o termo da coluna 2 virou zero. A matriz (ao fim da eliminação) é
Na anotamos e .

Passo 4

Com x1 = 3 - 6cdottfrac511 = 33 - 3011 = tfrac311 pronta, fazemos substituição retroativa para achar .
Do pivô de baixo pra cima:
  1. 3ª linha:
  2. 2ª linha:
  3. 1ª linha:

Resposta

x_1 = \tfrac{3}{11},\quad x_2 = \tfrac{5}{11},\quad x_3 = \tfrac{1}{11}.
As matrizes L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & -tfrac211 & 1 , U = 1 & 6 & 0 0 & -11 & 0 0 & 0 & 1 , e são
verificando .

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