Considere a matriz de coeficientes do sistema linear
l x2+2 x3=1 2 x1-x2=2 2 x2+x3=3
Determine a fatoração P A=L U, onde P é uma matriz de permutação. Use o resultado obtido para calcular det(A).

Passo 1

Beleza, vamo lá. A gente tem um sistema de três equações que manda montar a matriz de coeficientes
A= 0 & 1 & 2 2 & -1&0 0 & 2 &1
O que o exercício pede é: fazer a fatoração , onde
  • é uma matriz que faz permutações de linha,
  • é triangular inferior com 1’s na diagonal,
  • é triangular superior.
Depois, usar isso para achar .
Para resolver vamos precisar lembrar de:
  1. Por que às vezes precisamos permutar linhas (quando o pivô é zero).
  2. Como extrair os multiplicadores (essas “entradas” de ) no processo de eliminação.
  3. Como relacionar determinantres em produtos: .

Passo 2

Primeiro, olha a primeira coluna de P= 0&1&0 1&0&0 0&0&1 , : o pivô PA= 2 & -1 &0 0 & 1 &2 0 & 2 &1 . Não dá pra dividir por zero, então permutamos a linha 1 com a linha 2. Essa troca corresponde a
pois vira

Passo 3

Agora aplicamos eliminação em m32=u32u22=21=2 sem mais permutas:
  1. Pivô na posição (1,1) é 2. As linhas 2 e 3 já têm zeros embaixo dele, então os multiplicadores u33^rm nova=1 - m32cdot u23=1 - 2cdot2 = -3 e L= 1&0&0 0&1&0 0&2&1 , U= 2&-1&0 0&1&2 0&0&-3 .
  2. Passamos para o subbloco 2×2 formado pelas linhas 2–3 e colunas 2–3:
    • Pivô now é .
    • Multiplicador para zerar em (3,2) é
    • Atualizamos a linha 3:
Assim obtemos

Passo 4

Para achar PA=LU Longrightarrow det(P),det(A)=det(L),det(U) , usamos
-1cdotdet(A)=1cdot(-6) Longrightarrow det(A)=6
Sabendo que
  • (uma única troca de linhas),
  • (produto dos 1’s da diagonal),
  • ,
temos

Resposta

P = 0&1&01&0&00&0&1,
L = 1&0&00&1&00&2&1,
U = 2&-1&00&1&20&0&-3,
e .

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