Seja A uma matriz quadrada n times n. Definimos traço de A como sendo a soma dos termos que constituem sua diagonal principal e denotamos por tr(A). Verifique que dadas duas matrizes n times n e x in R temos
tr(x A)=x tr(A).

Passo 1

O enunciado define a traço de uma matriz quadrada AinR^ntimes n como
tr(A)=sumi=1^naii,
onde aii são os elementos da diagonal principal. Queremos provar que, para qualquer escalar xinR, vale
tr(xA)=x,tr(A)

Passo 2

Escrevendo A=(aij), a multiplicação por escalar xA produz a matriz
xA = (bij) com bij=x,aij
Em particular, os elementos da diagonal de xA são
bii=x,aii para i=1,dots,n

Passo 3

Pelo definição de traço, temos
tr(xA) =sumi=1^nbii =sumi=1^n(x,aii)

Passo 4

Como x é constante em relação à soma, podemos fatorá-lo:
sumi=1^n(x,aii) =xsumi=1^naii =x,tr(A)

Resposta

tr(xA)=x,tr(A).

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