Verifque que o determinante de matrizes triangulares (superior e inferior) 3 times 3 (ou 4 times 4 ) é o produto dos termos de sua diagonal. O que podemos dizer sobre matrizes diagonais 3 times 3 (ou 4 times 4 )? Os resultados anteriores valem em geral, ou seja, para matrizes n times n ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma matriz triangular (superior ou inferior) de ordem 3times 3 (ou 4times 4), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Em seguida, pergunta o que isso implica para matrizes diagonais e se essa propriedade vale para matrizes ntimes n. Vamos usar definição de determinante por regra de Laplace (expansão por cofatores) e um argumento por indução ou simplicidade estrutural.

Passo 2

Considere uma matriz triangular superior de ordem 3:
A = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f
Fazendo a expansão de det(A) pela primeira coluna, só o primeiro elemento contribui, pois abaixo de a há zeros. Logo,
det(A) = a cdot detd & e 0 & f = a,(d f - ecdot0) = a,d,f
O mesmo raciocínio vale para matrizes triangulares inferiores.

Passo 3

Para a matriz triangular superior de ordem 4,
B = a & * & * & * 0 & b & * & * 0 & 0 & c & * 0 & 0 & 0 & d ,
expansão pela primeira coluna dá
det(B)=a;det b & * & * 0 & c & * 0 & 0 & d =a,(b,c,d),
pois o determinante do bloco triangular 3times 3 é b,c,d. Logo det(B)=a,b,c,d.

Passo 4

Uma matriz diagonal de ordem 3times 3 ou 4times 4 é ao mesmo tempo triangular superior e inferior, com todas as entradas fora da diagonal zero. Portanto, a regra acima se aplica e
det(diag(a1,a2,a3))=a1,a2,a3, det(diag(a1,a2,a3,a4))=a1,a2,a3,a4

Passo 5

O argumento estende-se a uma matriz triangular qualquer de ordem n: ao expandir o determinante por uma coluna (ou linha) que tenha zeros exceto no pivô diagonal, só esse pivô gera o menor não-nulo, e continuamos recursivamente. Isso mostra por indução que, para toda matriz triangular ntimes n,
det(A)=prodi=1^n aii

Resposta

Em toda matriz triangular (superior ou inferior) de ordem 3, 4 ou n, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso vale em particular para matrizes diagonais, cujo determinante também é o produto dos seus elementos diagonais, e a propriedade é geral para matrizes ntimes n.

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