Seja T: U V uma transformação linear com dim U=dim V=n e T uma transformação linear injetora. Mostre que T leva base em base, ou seja, se beta=v1, v2, cdots, vn é base de U então beta^prime=T(v1), T(v2), cdots, T(vn) é base de V.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon Uto V é linear, dim U=dim V=n e T é injetora. Queremos mostrar que, se beta=v1,dots,vn é uma base de U, então
beta'=T(v1),dots,T(vn) é base de V.
Para isso basta provar que beta' é linearmente independente e gera V.

Passo 2

Mostramos que beta' é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
a1,T(v1)+a2,T(v2)+cdots+an,T(vn)=0
Pela linearidade de T, isso equivale a
Tl(a1v1+a2v2+cdots+anvnr)=0
Como T é injetora, o único vetor do núcleo é o zero, logo
a1v1+cdots+anvn=0
Mas v1,dots,vn é base de U, portanto é linearmente independente, o que força a1=cdots=an=0. Concluímos que beta' é linearmente independente.

Passo 3

Como beta' tem n vetores e dim V=n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes já é base de V. Alternativamente, usando o Teorema da Dimensão (ou posto–nuloidade), da injetividade de T segue que rank(T)=n, ou seja, Im(T) tem dimensão n. Mas Im(T)subseteq V e dim V=n, de modo que Im(T)=V, o que prova que beta' gera V.

Resposta

Concluímos que beta'=T(v1),dots,T(vn) é base de V.

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