Seja
uma transformação linear
e
uma transformação linear injetora. Mostre que
leva base em base, ou seja, se
é base de
então
é base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é linear,
e
é injetora. Queremos mostrar que, se
é uma base de
, então
é base de
.
Para isso basta provar que é linearmente independente e gera
.
Para isso basta provar que
Passo 2
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
Pela linearidade de
, isso equivale a
Como
é injetora, o único vetor do núcleo é o zero, logo
Mas
é base de
, portanto é linearmente independente, o que força
. Concluímos que
é linearmente independente.
Passo 3
Como
tem
vetores e
, qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes já é base de
. Alternativamente, usando o Teorema da Dimensão (ou posto–nuloidade), da injetividade de
segue que
, ou seja,
tem dimensão
. Mas
e
, de modo que
, o que prova que
gera
.
Resposta
Concluímos que
é base de
.