Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definem-se como segue as potências de A: A^0=I, onde I é a matriz identidade de ordem n A^1=A, A^n=A^n-1 cdot A, para todo natural n >= 2. Ache uma matriz triangular superior A=(lla & b 0 & c) tal que A^3=(cc8 & -57 0 & 27).

Passo 1

O enunciado pede uma matriz triangular superior
A = a & b 0 & c
tal que
A^3 = 8 & -57 0 & 27
Como A é triangular superior, sabemos que em A^3 os elementos diagonais são a^3 e c^3, e o elemento acima da diagonal é
(A^3)12 ;=; b,(a^2 + a,c + c^2)

Passo 2

Igualando os elementos diagonais de A^3 ao enunciado, temos
a^3 = 8 e c^3 = 27
Como queremos uma matriz com entradas reais, tomamos as raízes reais:
a = 2, c = 3

Passo 3

Agora igualamos o elemento (1,2) de A^3:
b,(a^2 + a,c + c^2) = -57
Substituindo a=2 e c=3, calcula-se
a^2 + a,c + c^2 = 2^2 + 2cdot3 + 3^2 = 4 + 6 + 9 = 19,
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19,b = -57 Longrightarrow b = -3

Resposta

A = 2 & -3 0 & 3

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