Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Sabendo que uma matriz com uma linha inteiramente nula não é invertível, verifique:
(a) Se a linha
é múltipla da linha
, então
não é invertível.
(b) Se a linha
é soma das linhas
e
, então
não é invertível.
(c) O mesmo ocorre com as colunas?
(a) Se a linha
(b) Se a linha
(c) O mesmo ocorre com as colunas?
Passo 1
O enunciado fala de uma matriz quadrada
de ordem
e lembra que, se tiver uma linha completamente nula, então
e
não é invertível. Preciso usar propriedades de determinante (multilinearidade e alternância) ou operações elementares de linhas para mostrar que, em cada caso, aparece uma linha nula ou duas linhas dependentes, o que força
.
Passo 2
Para (a), suponha que
para algum escalar
. Então linhas
e
são proporcionais, o que por alternância do determinante implica imediatamente
Alternativamente, aplique a operação de linha
que gera uma linha
totalmente nula. Como essa operação não anula o determinante (multiplica-o por 1), fica claro que
e
não é invertível.
Passo 3
Para (b), suponha que
. Então faço a operação
resultando numa linha
totalmente nula. Logo
e
deixa de ser invertível.
Passo 4
Para (c), basta notar que o determinante de
é igual ao determinante de sua transposta:
Como as colunas de
são as linhas de
, qualquer dependência linear ou proporcionalidade entre colunas de
leva a dependência linear ou proporcionalidade entre linhas de
e, portanto,
. Assim, as mesmas conclusões valem para colunas.
Resposta
(a)
não é invertível porque há duas linhas proporcionais.
(b) não é invertível porque uma linha vira combinação linear das outras e gera linha nula.
(c) Sim: as mesmas condições de dependência linear entre colunas fazem , logo
não é invertível.
(b)
(c) Sim: as mesmas condições de dependência linear entre colunas fazem