Seja A uma matriz quadrada de ordem n times n. Sabendo que uma matriz com uma linha inteiramente nula não é invertível, verifique:
(a) Se a linha Li é múltipla da linha Lj, então A não é invertível.
(b) Se a linha Li é soma das linhas Lj e Lk, então A não é invertível.
(c) O mesmo ocorre com as colunas?

Passo 1

O enunciado fala de uma matriz quadrada A de ordem n e lembra que, se tiver uma linha completamente nula, então det(A)=0 e A não é invertível. Preciso usar propriedades de determinante (multilinearidade e alternância) ou operações elementares de linhas para mostrar que, em cada caso, aparece uma linha nula ou duas linhas dependentes, o que força det(A)=0.

Passo 2

Para (a), suponha que Li = c,Lj para algum escalar c. Então linhas i e j são proporcionais, o que por alternância do determinante implica imediatamente
det(A)=0
Alternativamente, aplique a operação de linha
Li Li - c,Lj,
que gera uma linha i totalmente nula. Como essa operação não anula o determinante (multiplica-o por 1), fica claro que det(A)=0 e A não é invertível.

Passo 3

Para (b), suponha que Li = Lj + Lk. Então faço a operação
Li Li - Lj - Lk,
resultando numa linha i totalmente nula. Logo det(A)=0 e A deixa de ser invertível.

Passo 4

Para (c), basta notar que o determinante de A é igual ao determinante de sua transposta:
det(A)=det(A^T)
Como as colunas de A são as linhas de A^T, qualquer dependência linear ou proporcionalidade entre colunas de A leva a dependência linear ou proporcionalidade entre linhas de A^T e, portanto, det(A)=0. Assim, as mesmas conclusões valem para colunas.

Resposta

(a) A não é invertível porque há duas linhas proporcionais.
(b) A não é invertível porque uma linha vira combinação linear das outras e gera linha nula.
(c) Sim: as mesmas condições de dependência linear entre colunas fazem det(A)=0, logo A não é invertível.

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