9 - Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que:
(b) Se a linha
é soma das linhas
e
de
, então
não é inversível.
(b) Se a linha
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
em que a linha
é igual à soma de duas outras linhas,
e
. O objetivo é mostrar que, nessas condições,
não é inversível. Vamos usar operações elementares sobre linhas e o fato de que elas preservam (ou não) a invertibilidade de uma matriz.
Passo 2
Aplicamos operações elementares para zerar a linha
. Primeiro fazemos
e em seguida
Como inicialmente
, após essas duas operações temos
Passo 3
Sabe-se que cada operação do tipo
é elementar e não muda o fato de a matriz ser ou não inversível. Mas a matriz resultante tem uma linha nula, o que implica determinante zero e, portanto, não inversibilidade. Concluímos então que a matriz original
também não pode ser inversível.
Resposta
A matriz
não é inversível.