9 - Seja A uma matriz quadrada de ordem n times n. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que:
(b) Se a linha Li é soma das linhas Lj e Lk de A, então A não é inversível.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem n em que a linha Li é igual à soma de duas outras linhas, Lj e Lk. O objetivo é mostrar que, nessas condições, A não é inversível. Vamos usar operações elementares sobre linhas e o fato de que elas preservam (ou não) a invertibilidade de uma matriz.

Passo 2

Aplicamos operações elementares para zerar a linha i. Primeiro fazemos
Li long<=ftarrow Li - Lj,
e em seguida
Li long<=ftarrow Li - Lk
Como inicialmente Li = Lj + Lk, após essas duas operações temos
Li' = (Lj + Lk) - Lj - Lk = 0

Passo 3

Sabe-se que cada operação do tipo La La + c,Lb é elementar e não muda o fato de a matriz ser ou não inversível. Mas a matriz resultante tem uma linha nula, o que implica determinante zero e, portanto, não inversibilidade. Concluímos então que a matriz original A também não pode ser inversível.

Resposta

A matriz A não é inversível.

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