Sejam A in Mn times n(F), X, Y in Mn times 1(F). Mostre que X^T A Y=Y^T A^T X.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz Ain Mntimes n(F) e vetores-coluna X,Yin Mntimes1(F), vale
X^T A Y ;=; Y^T A^T X
O conteúdo que vamos usar é a propriedade da transposta de um produto de matrizes e o fato de que um escalar (uma matriz 1times1) é igual à sua própria transposta.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer matrizes compatíveis M e N,
(MN)^T ;=; N^TM^T,
aplicamos isso a M = X^TA e N=Y, obtendo
l(X^TA,Yr)^T =;Y^Tl(X^TAr)^T =;Y^TA^Tl(X^Tr)^T =;Y^TA^TX

Passo 3

Como X^TA,Y é uma matriz 1times1 (isto é, um escalar), temos
l(X^TA,Yr)^T =;X^TA,Y
Combinando esse fato com o resultado do passo anterior, concluímos
X^TA,Y =;Y^TA^TX

Resposta

X^TA,Y = Y^TA^TX

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