Sejam e .
Dê uma base do subespaço , isto é, o subespaço gerado pelos vetores ortogonais a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar uma base do subespaço , que é formado por todos os vetores que são ortogonais a cada vetor em . Aqui, é gerado pelos vetores , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços ortogonais e produtos internos (ou produtos escalares).
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um vetor qualquer que pertence a . Para que esteja em , ela precisa ser ortogonal a todos os vetores que geram . Ou seja, o produto interno de com cada um desses vetores deve ser zero.
Passo 3
Vamos escrever as condições de ortogonalidade:
Calculando cada produto interno:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação, x1 = -x2 .
Da segunda equação, x4 = -x2 .
Substituindo x1 e x4 na primeira equação:
(-x2) + (-x2) = -2x2 = 0 implies x2 = 0
Então, x1 = 0 e x4 = 0 .
O único componente livre é x3 , que pode ser qualquer número real.
Resposta
Uma base para U^perp é o conjunto , (0, 0, 1, 0) .