Sejam U=Span(1,0,0,1),(0,1,0,1),(1,1,0,0) e v=(1,1,1,1).
Dê uma base do subespaço U^perp, isto é, o subespaço gerado pelos vetores ortogonais a U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar uma base do subespaço U^perp , que é formado por todos os vetores que são ortogonais a cada vetor em U . Aqui, U é gerado pelos vetores (1,0,0,1), (0,1,0,1) e (1,1,0,0). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços ortogonais e produtos internos (ou produtos escalares).

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um vetor qualquer x = (x1, x2, x3, x4) que pertence a U^perp . Para que x esteja em U^perp , ela precisa ser ortogonal a todos os vetores que geram U . Ou seja, o produto interno de x com cada um desses vetores deve ser zero.

Passo 3

Vamos escrever as condições de ortogonalidade:
  1. x cdot (1, 0, 0, 1) = 0
  2. x cdot (0, 1, 0, 1) = 0
  3. x cdot (1, 1, 0, 0) = 0
Calculando cada produto interno:
  1. 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + 0 cdot x3 + 1 cdot x4 = x1 + x4 = 0
  2. 0 cdot x1 + 1 cdot x2 + 0 cdot x3 + 1 cdot x4 = x2 + x4 = 0
  3. 1 cdot x1 + 1 cdot x2 + 0 cdot x3 + 0 cdot x4 = x1 + x2 = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
x1 + x4 = 0 x2 + x4 = 0 x1 + x2 = 0
Vamos resolver esse sistema:
  • Da terceira equação, x1 = -x2 .
  • Da segunda equação, x4 = -x2 .
  • Substituindo x1 e x4 na primeira equação:
(-x2) + (-x2) = -2x2 = 0 implies x2 = 0
  • Então, x1 = 0 e x4 = 0 .
O único componente livre é x3 , que pode ser qualquer número real.

Resposta

Uma base para U^perp é o conjunto , (0, 0, 1, 0) .

Exercícios relacionados