Seja A=\sqrt{2} B^{2} C^{-1}, onde:
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 10 & 4 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 5 & 0 & -1 \\\\ 3 & -3 & 6 & 4 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{cccc} 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 7 & 2 & 0 \\\\ 4 & 0 & 11 & -1 \end{array}\right] .
Calcule o determinante da transposta de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\sqrt{2}\,B^{2}C^{-1},
com
B=\begin{pmatrix} 1 & 10 & 4 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 5 & 0 & -1 \\\\ 3 & -3 & 6 & 4 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 7 & 2 & 0 \\\\ 4 & 0 & 11 & -1 \end{pmatrix}.
A pergunta pede: calcular o determinante da transposta de A, ou seja \det(A^{T}).

Passo 2

Vou listar as propriedades de determinante que usarei (explicando o porquê, para você poder aplicar na prova):
  • Para qualquer matriz quadrada M de ordem n,
\det(M^{T})=\det(M).
Isto significa que o determinante não muda quando transponho a matriz — então basta calcular \det(A).
  • Para um escalar k e uma matriz M de ordem n,
\det(kM)=k^{n}\det(M).
Explicação rápida: multiplicar cada linha por k multiplica o determinante por k; como há n linhas, o fator é k^{n}.
  • Para matrizes quadradas X,Y compatíveis,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Logo, ao ter um produto de matrizes, o determinante do produto é o produto dos determinantes.
  • Para inversa (quando existe):
\det(X^{-1})=\frac{1}{\det(X)}.
Com essas propriedades, para A=\sqrt{2}\,B^{2}C^{-1} (matrizes 4\times4) obtemos
\det(A)=\det(\sqrt{2}\,B^{2}C^{-1})=(\sqrt{2})^{4}\det(B^{2})\det(C^{-1}).
Vou calcular \det(B) e \det\text{(C)} e depois aplicar essas regras.

Passo 3

Cálculo de \det(B). Observação útil: a segunda linha de B é (0,2,0,0), ou seja só tem entrada não nula na coluna 2 — então é prático expandir por essa linha (expansão de Laplace). Pela expansão ao longo da linha 2:
\det(B)=2\cdot(-1)^{2+2}\det(M_{22})=2\det(M_{22}),
onde M_{22} é a matriz 3\times3 que resta ao eliminar a linha 2 e a coluna 2 de B. Essa matriz é
M_{22}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 6 & 4 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(M_{22}) por regra de Sarrus / cofactores: expandindo na primeira linha,
\det(M_{22})=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\\ 6 & 4\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 4\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\\ 3 & 6\end{pmatrix}.
Calculo cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\\ 6 & 4\end{pmatrix}=0\cdot4-(-1)\cdot6=6,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4-(-1)\cdot3=8+3=11,
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\\ 3 & 6\end{pmatrix}=2\cdot6-0\cdot3=12.
Substituindo,
\det(M_{22})=1\cdot6-4\cdot11+2\cdot12=6-44+24=-14.
Portanto
\det(B)=2\cdot(-14)=-28.

Passo 4

Cálculo de \det\text{(C)}. Observe a matriz C:
C=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 7 & 2 & 0 \\\\ 4 & 0 & 11 & -1 \end{pmatrix}.
Note que todos os elementos acima da diagonal principal são zero (entradas com índice coluna maior que linha são nulas), logo C é triangular inferior. Para matrizes triangulares o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Assim
\det\text{(C)}=5\cdot1\cdot2\cdot(-1)=5\cdot2\cdot(-1)=-10.

Passo 5

Agora combino tudo para \det(A). Como A é 4\times4, (\sqrt{2})^{4}=4. Além disso \det(B^{2})=\det(B)^{2} e \det(C^{-1})=1/\det\text{(C)}. Então
\det(A)=4\cdot\det(B)^{2}\cdot\frac{1}{\det\text{(C)}}.
Substituindo os valores encontrados \det(B)=-28 e \det\text{(C)}=-10:
\det(A)=4\cdot(-28)^{2}\cdot\frac{1}{-10}=4\cdot784\cdot\frac{1}{-10}=\frac{3136}{-10}=-\frac{1568}{5}.

Passo 6

Finalmente, usando a propriedade do Passo 2 de que \det(A^{T})=\det(A), concluímos que
\det(A^{T})=-\frac{1568}{5}.

Resposta

-\dfrac{1568}{5}

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