Seja
. Mostre que
é limitado inferiormente e inf
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto dos números naturais,
, e precisamos mostrar duas coisas:
- Que
é limitado inferiormente. - Que o ínfimo de
é igual a 1.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites inferiores e ínfimo que fazem parte da matemática que estuda conjuntos ordenados. Vamos passo a passo entender e provar essas coisas!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado inferiormente. Dizemos que um conjunto
é limitado inferiormente se existe um número real
tal que
para todo
em
. Esse número
chamamos de limite inferior ou cota inferior.
No nosso caso, queremos encontrar um número
que seja menor ou igual a todos os elementos de
.
Passo 3
Observando o conjunto
, percebemos que o menor número nesse conjunto é 1. Ou seja, nenhum número natural é menor que 1.
Assim, podemos dizer que 1 é uma cota inferior para
, porque
para todo
. Então,
é limitado inferiormente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que o ínfimo de
é exatamente 1. O ínfimo é a maior cota inferior do conjunto. Isso significa que, se houver qualquer outro número
que também seja uma cota inferior para
, então
.
Vamos supor que exista uma cota inferior
tal que
. Mas isso não pode acontecer, porque já sabemos que 1 é um elemento de
e
não seria menor ou igual a 1. Portanto, a única possibilidade é que
.
Isso confirma que 1 é a maior cota inferior, ou seja, o ínfimo de
é 1.
Resposta
Portanto, o conjunto
é limitado inferiormente e seu ínfimo é igual a 1, ou seja,
.