Seja N=1,2,3, ldots. Mostre que N é limitado inferiormente e inf N=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto dos números naturais, N = 1, 2, 3, ldots, e precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que N é limitado inferiormente.
  2. Que o ínfimo de N é igual a 1.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites inferiores e ínfimo que fazem parte da matemática que estuda conjuntos ordenados. Vamos passo a passo entender e provar essas coisas!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado inferiormente. Dizemos que um conjunto A é limitado inferiormente se existe um número real m tal que m <= a para todo a em A. Esse número m chamamos de limite inferior ou cota inferior.
No nosso caso, queremos encontrar um número m que seja menor ou igual a todos os elementos de N.

Passo 3

Observando o conjunto N = 1, 2, 3, ldots, percebemos que o menor número nesse conjunto é 1. Ou seja, nenhum número natural é menor que 1.
Assim, podemos dizer que 1 é uma cota inferior para N, porque 1 <= n para todo n in N. Então, N é limitado inferiormente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que o ínfimo de N é exatamente 1. O ínfimo é a maior cota inferior do conjunto. Isso significa que, se houver qualquer outro número alpha que também seja uma cota inferior para N, então alpha <= 1.
Vamos supor que exista uma cota inferior alpha tal que alpha > 1. Mas isso não pode acontecer, porque já sabemos que 1 é um elemento de N e alpha > 1 não seria menor ou igual a 1. Portanto, a única possibilidade é que alpha <= 1.
Isso confirma que 1 é a maior cota inferior, ou seja, o ínfimo de N é 1.

Resposta

Portanto, o conjunto N é limitado inferiormente e seu ínfimo é igual a 1, ou seja, inf N = 1.

Exercícios relacionados