Seja , mostre que ao multiplicarmos por uma constante , o determinande de fica multiplicado pela constante elevada à ordem da matriz, ou seja, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a gente multiplica uma matriz quadrada de ordem por uma constante , o determinante de também é multiplicado por elevado à ordem da matriz. Ou seja, queremos provar que:
Vamos usar conceitos de determinantes de matrizes e como eles se comportam quando multiplicamos linhas ou a matriz inteira por uma constante.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o determinante de uma matriz é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real, e ele tem algumas propriedades importantes. Uma dessas propriedades é relacionada à multiplicação de linhas por constantes.
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por uma constante , o determinante da matriz resultante é vezes o determinante da matriz original. Ou seja, se multiplicarmos uma única linha por , temos:
Passo 3
Agora, se a matriz é de ordem , isso significa que ela tem linhas. Se a gente multiplicar todas as linhas de por , cada multiplicação de linha vai trazer um fator no determinante.
Então, multiplicando todas as linhas da matriz por , o determinante fica multiplicado por para cada linha. Como são linhas, o determinante total será multiplicado por vezes, ou seja, por .
Passo 4
Matematicamente, isso fica assim:
Isso ocorre porque cada linha multiplicada por k contribui com um k no determinante, e como são n linhas, o total é k^n .
Resposta
Portanto, mostramos que ao multiplicar a matriz A por uma constante k , o determinante de A fica multiplicado por k^n . Ou seja: