Seja A in Mn(R), mostre que ao multiplicarmos A por uma constante k in R, o determinande de A fica multiplicado pela constante elevada à ordem da matriz, ou seja, det(k cdot A)=k^n cdot det A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a gente multiplica uma matriz quadrada A de ordem n por uma constante k , o determinante de A também é multiplicado por k elevado à ordem da matriz. Ou seja, queremos provar que:
det(k cdot A) = k^n cdot det(A)
Vamos usar conceitos de determinantes de matrizes e como eles se comportam quando multiplicamos linhas ou a matriz inteira por uma constante.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o determinante de uma matriz é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real, e ele tem algumas propriedades importantes. Uma dessas propriedades é relacionada à multiplicação de linhas por constantes.
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por uma constante k , o determinante da matriz resultante é k vezes o determinante da matriz original. Ou seja, se multiplicarmos uma única linha por k , temos:
det(A') = k cdot det(A)

Passo 3

Agora, se a matriz A é de ordem n , isso significa que ela tem n linhas. Se a gente multiplicar todas as n linhas de A por k , cada multiplicação de linha vai trazer um fator k no determinante.
Então, multiplicando todas as linhas da matriz por k , o determinante fica multiplicado por k para cada linha. Como são n linhas, o determinante total será multiplicado por k n vezes, ou seja, por k^n .

Passo 4

Matematicamente, isso fica assim:
det(k cdot A) = det( k cdot a11 & k cdot a12 & cdots & k cdot a1n k cdot a21 & k cdot a22 & cdots & k cdot a2n vdots & vdots & ddots & vdots k cdot an1 & k cdot an2 & cdots & k cdot ann ) = k^n cdot det(A)
Isso ocorre porque cada linha multiplicada por k contribui com um k no determinante, e como são n linhas, o total é k^n .

Resposta

Portanto, mostramos que ao multiplicar a matriz A por uma constante k , o determinante de A fica multiplicado por k^n . Ou seja:
det(k cdot A) = k^n cdot det(A)

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