Seja
. Para quais valores de
a série
converge?
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para quais valores de
a série
converge.
O conteúdo principal aqui é o teste da série-p (ou integral), que diz que a convergência de depende de comparar com a integral imprópria de
.
O conteúdo principal aqui é o teste da série-p (ou integral), que diz que a convergência de
Passo 2
Aplicamos o teste da integral. Consideramos a função positiva, decrescente para
,
Em seguida, avaliamos a integral imprópria
Se essa integral convergir, então a série
também converge; se divergir, a série diverge.
Passo 3
Calculemos a integral:
Para
,
Agora:
- Se
, então e quando . Logo
que é finito, ou seja, a integral converge.
- Se
, então e tende a , fazendo a integral divergir.
No caso
temos explicitamente
que também diverge quando
.
Resposta
A série
converge se e somente se
.