Seja a_{n}=\frac{1}{n^{p}}. Para quais valores de p>0 a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
converge?

Passo 1

O enunciado define a sequência a_{n} = \tfrac{1}{n^{p}} e pede para quais valores de p>0 a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge.
O conteúdo principal aqui é o teste da série-p (ou integral), que diz que a convergência de \sum 1/n^{p} depende de comparar com a integral imprópria de x^{-p}.

Passo 2

Aplicamos o teste da integral. Consideramos a função positiva, decrescente para x\ge1,
f(x) = x^{-p}.
Em seguida, avaliamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Se essa integral convergir, então a série \sum 1/n^{p} também converge; se divergir, a série diverge.

Passo 3

Calculemos a integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{A\to\infty} \int_{1}^{A} x^{-p}\,dx.
Para p\neq 1,
\int_{1}^{A} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{A} = \frac{A^{1-p}-1}{1-p}.
Agora:
  • Se p>1, então 1-p<0 e A^{1-p}\to0 quando A\to\infty. Logo
\lim_{A\to\infty}\frac{A^{1-p}-1}{1-p} = \frac{0-1}{1-p} = \frac{1}{p-1},
que é finito, ou seja, a integral converge.
  • Se 0<p\le1, então 1-p\ge0 e A^{1-p} tende a \infty, fazendo a integral divergir.
No caso p=1 temos explicitamente
\int_{1}^{A} \frac{dx}{x} = \ln(A),
que também diverge quando A\to\infty.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se e somente se p>1.

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