Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
。
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a relação
é uma relação de equivalência em
. Para isso precisamos checar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificando a reflexividade: para todo
temos
logo
. Portanto
é reflexiva.
Passo 3
Verificando a simetria: se
então
. Mas
, logo
, ou seja
. Portanto
é simétrica.
Passo 4
Verificando a transitividade: suponha
e
, isto é
Pelo triângulo temos
mas para ser transitiva precisaríamos
. De fato, tomando o contraexemplo
vemos que
e
, mas
. Logo
e
, mas
, o que mostra que
não é transitiva.
Resposta
A relação
não é de equivalência, pois falha na propriedade da transitividade.