Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
S=\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}:|x-y| \leq 4\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a relação
S = \{(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid |x-y|\le4\}
é uma relação de equivalência em \mathbb{Z}. Para isso precisamos checar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificando a reflexividade: para todo x\in\mathbb{Z} temos
|x-x| = 0 \le 4,
logo (x,x)\in S. Portanto S é reflexiva.

Passo 3

Verificando a simetria: se (x,y)\in S então |x-y|\le4. Mas |y-x| = |x-y|, logo |y-x|\le4, ou seja (y,x)\in S. Portanto S é simétrica.

Passo 4

Verificando a transitividade: suponha (x,y)\in S e (y,z)\in S, isto é
|x-y|\le4 \quad\text{e}\quad |y-z|\le4.
Pelo triângulo temos
|x-z|\le |x-y| + |y-z| \le 8,
mas para ser transitiva precisaríamos |x-z|\le4. De fato, tomando o contraexemplo
x=0,\quad y=4,\quad z=8,
vemos que |0-4|=4\le4 e |4-8|=4\le4, mas |0-8|=8>4. Logo (0,4)\in S e (4,8)\in S, mas (0,8)\notin S, o que mostra que S não é transitiva.

Resposta

A relação S não é de equivalência, pois falha na propriedade da transitividade.

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