Verifique se a série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo aqui envolve dois testes principais: o teste da convergência absoluta (comparar com uma p-série) e o teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série das magnitudes dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
Essa é a série harmônica, que é uma p-série com p=1. Sabe-se que toda p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
diverge quando p \le 1. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
diverge, e portanto a nossa série original não converge absolutamente.

Passo 3

Apesar de não convergir absolutamente, vamos aplicar o teste de Leibniz para séries alternantes. A série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_{n},
com b_{n} = 1/n, converge se satisfaz os dois requisitos:
  1. b_{n} é decrescente a partir de algum n;
  2. \lim_{n\to\infty} b_{n} = 0.
Aqui b_{n}=1/n claramente é decrescente para n\ge1 e tende a zero quando n\to\infty. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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