Utilize um teste de convergência adequado para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando um teste de convergência adequado. Como os termos são positivos e a função
é contínua em
, o teste que vamos usar é o teste da integral.
Passo 2
Mostramos que
é positiva, contínua e decrescente para
. De fato, para
temos
, logo
. A derivada é
e como
em
, segue
. Assim,
é decrescente em
.
Passo 3
Pelo teste da integral, a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for convergente. Fazendo a troca de variável
, temos
e
Logo, a integral diverge.
Passo 4
Como a integral
diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.