Utilize um teste de convergência adequado para determinar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
usando um teste de convergência adequado. Como os termos são positivos e a função f(x)=1/(x\ln x) é contínua em [2,\infty), o teste que vamos usar é o teste da integral.

Passo 2

Mostramos que f(x)=\frac{1}{x\ln x} é positiva, contínua e decrescente para x\ge2. De fato, para x>1 temos \ln x>0, logo f(x)>0. A derivada é
f'(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{-1}(\ln x)^{-1}\bigr) =-\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2},
e como 1+\ln x>0 em x\ge2, segue f'(x)<0. Assim, f é decrescente em [2,\infty).

Passo 3

Pelo teste da integral, a série \sum_{n=2}^{\infty}f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x}
for convergente. Fazendo a troca de variável u=\ln x, temos \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x} e
\int_{2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}u}{u} =\bigl[\ln u\bigr]_{\ln2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln U-\ln(\ln2)=+\infty.
Logo, a integral diverge.

Passo 4

Como a integral \int_{2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x} diverge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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