Sejam a, b \in \mathbb{Z},(a, b)=d e c \in \mathbb{Z}^{*}. Mostre que (c a, c b)=|c|(a, b).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b\in\mathbb{Z} e (a,b)=d (isto é, o máximo divisor comum de a e b é d);
  • c\in\mathbb{Z}^{*} (isto é, c é inteiro não nulo).
O que pede: mostrar que
(ca,cb)=|c|\,(a,b).
Em palavras: multiplicar os dois inteiros a e b por um mesmo inteiro c faz o mdc desses novos números ser igual a |c| vezes o mdc original.

Passo 2

Lembretes e ferramentas básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Definição: (x,y)= o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y.
  • Propriedade útil (Bézout): se (a,b)=d, então existem inteiros u,v tais que
u a + v b = d.
Isto é importante porque mostra que d é combinação linear inteira de a e b.
  • Propriedade de divisibilidade por combinação linear: se um inteiro s divide x e divide y, então s divide qualquer combinação inteira r x + s' y.
  • Propriedade do gcd em termos de divisibilidade: se t é um divisor comum de x e y, então t divide (x,y). Isso decorre da identidade de Bézout aplicada a x,y.
Vou denotar por g o número (c a, c b) e mostrar que g=|c|d.

Passo 3

Mostrar que |c|d é um divisor comum de c a e c b.
Como (a,b)=d, temos d\mid a e d\mid b. Logo existem inteiros a_1,b_1 tais que
a = d a_1,\qquad b = d b_1.
Multiplicando por c,
c a = c d a_1,\qquad c b = c d b_1.
Isto mostra que |c|d divide c a e também divide c b. Portanto |c|d é um divisor comum de c a e c b.
Pelo fato geral citado: qualquer divisor comum de dois números divide o seu máximo divisor comum, concluímos que
|c|d \mid (c a, c b) = g.
Ou seja, |c|d divide g.

Passo 4

Mostrar que g divide |c|d (o recíproco), assim teremos igualdade.
Começo usando Bézout para a e b: existem inteiros u,v tais que
u a + v b = d.
Multiplicando por c obtemos
u(ca) + v(cb) = c d.
Como g=(c a,c b) divide tanto c a quanto c b, ele divide a combinação inteira à esquerda; assim g\mid c d. Em outras palavras,
g \mid c d.
Agora coloque t=\gcd(g,c). Escrevendo g=t g_1 e c=t c_1 com \gcd(g_1,c_1)=1, da divisibilidade g\mid c a segue t g_1 \mid t c_1 a, ou seja g_1 \mid c_1 a. Como \gcd(g_1,c_1)=1, pelo fato padrão (se um inteiro divide um produto e é coprimo a um dos fatores, então divide o outro fator) obtemos g_1\mid a. De modo idêntico, de g\mid c b segue g_1\mid b. Logo g_1 é divisor comum de a e b, portanto g_1\mid d.
Combinando as factorizations:
g = t g_1,\qquad g_1\mid d,\qquad t\mid c.
Da última linha vem t\mid |c|. Assim existe inteiro m tal que t m = |c|. Como g_1\mid d existe inteiro n tal que g_1 n = d. Portanto
g = t g_1 = (t m)(g_1 n)\cdot\frac{1}{m n} = |c|d\cdot\frac{1}{mn},
mas mais direto: g = t g_1 divide t d (porque g_1\mid d), e t d divide |c| d (porque t\mid |c|). Assim g\mid |c| d.
Resumindo: já mostramos |c|d \mid g no Passo 3 e agora mostramos g \mid |c|d. Portanto g e |c|d são divisores um do outro, logo são iguais como inteiros positivos:
g = |c|d.

Passo 5

Observação sobre o valor absoluto: usamos |c| porque (\cdot,\cdot) é definido como um inteiro não negativo. Se c for negativo, c a e (-c) a têm mesmos divisores em valor absoluto, por isso o fator extra é |c|, não c.
Conclusão final: para todo a,b\in\mathbb{Z} e todo c\in\mathbb{Z}^{*} vale
(ca,cb)=|c|\,(a,b).

Resposta

(c a, c b)=|c|(a, b)

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