Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e (isto é, o máximo divisor comum de e é ); -
(isto é, é inteiro não nulo).
O que pede: mostrar que
Em palavras: multiplicar os dois inteiros
e
por um mesmo inteiro
faz o mdc desses novos números ser igual a
vezes o mdc original.
Passo 2
Lembretes e ferramentas básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
- Definição:
o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . - Propriedade útil (Bézout): se
, então existem inteiros tais que
Isto é importante porque mostra que
é combinação linear inteira de
e
.
- Propriedade de divisibilidade por combinação linear: se um inteiro
divide e divide , então divide qualquer combinação inteira . - Propriedade do gcd em termos de divisibilidade: se
é um divisor comum de e , então divide . Isso decorre da identidade de Bézout aplicada a .
Vou denotar por
o número
e mostrar que
.
Passo 3
Mostrar que
é um divisor comum de
e
.
Como
, temos
e
. Logo existem inteiros
tais que
Multiplicando por
,
Isto mostra que
divide
e também divide
. Portanto
é um divisor comum de
e
.
Pelo fato geral citado: qualquer divisor comum de dois números divide o seu máximo divisor comum, concluímos que
Ou seja,
divide
.
Passo 4
Mostrar que
divide
(o recíproco), assim teremos igualdade.
Começo usando Bézout para
e
: existem inteiros
tais que
Multiplicando por
obtemos
Como
divide tanto
quanto
, ele divide a combinação inteira à esquerda; assim
. Em outras palavras,
Agora coloque
. Escrevendo
e
com
, da divisibilidade
segue
, ou seja
. Como
, pelo fato padrão (se um inteiro divide um produto e é coprimo a um dos fatores, então divide o outro fator) obtemos
. De modo idêntico, de
segue
. Logo
é divisor comum de
e
, portanto
.
Combinando as factorizations:
Da última linha vem
. Assim existe inteiro
tal que
. Como
existe inteiro
tal que
. Portanto
mas mais direto:
divide
(porque
), e
divide
(porque
). Assim
.
Resumindo: já mostramos
no Passo 3 e agora mostramos
. Portanto
e
são divisores um do outro, logo são iguais como inteiros positivos:
Passo 5
Observação sobre o valor absoluto: usamos
porque
é definido como um inteiro não negativo. Se
for negativo,
e
têm mesmos divisores em valor absoluto, por isso o fator extra é
, não
.
Conclusão final: para todo
e todo
vale